Tugas Kelompok Basis Data

Myicourse kelompok 1 from NataliaAsima

Cerpen Ranggalawe Gugur-Chairil Anwar

Kali ini saya akan posting cerpen karya Chairil Anwar, Sang sastrawan legendaris kita ya...
Judul nya : Ranggalawe Gugur. Saya suka banget sih baca cerpen, apa lagi dengan gaya bahasa yang unik-unik khas jaman doeloe , tadi nya mau jadi anak sastrawan sih, kuliah cari yang ada berbau sastra nya, tapi, it's my way.. Dunia IT menjadi pilihan saya, tapi itu semua tidak mengurangi rasa ketertarikan saya membaca berbagai macam jenis cerpen. Okay, enjoy the following short story by Chairil Anwar. Semoga bermanfaat dan memberi inspirasi ya...

Ranggalawe Gugur

Bukan kematian benar menusuk kalbu
Keridlaanmu menerima segala tiba
Tak kutahu setinggi itu atas debu
dan duka maha tuan bertakhta1
—
Di atas panggung, beberapa kotak yang disembunyikan begitu saja di balik kain hitam, Ranggalawe gugur. Tujuh bidadari tua mengelilingi tubuhnya yang tegak berdiri -bahkan kematian tak mampu merubuhkannya. Mereka melempari tubuh yang mematung itu dengan bunga. Hanya angin malam yang sanggup menyaksikannya. Angin yang sejak 10 tahun yang lalu menggerakkan rombongan itu dari satu lapangan ke lapangan yang lain. Dari satu kesepian menuju kesepian berikutnya. Dan malam itu selesailah semuanya. Angin tak sanggup lagi menggerakkan mereka menuju pemberhentian berikutnya. Lalu angin pelan-pelan mati. Dan tak mampu menggerakkan dirinya sendiri.
”Malam ini adalah pertunjukan terakhir kami. Tak ada lagi yang menginginkan kehadiran kami. Tak ada lagi yang menyaksikan kami. Kami tak punya alasan lagi untuk berlama-lama di sini.” Seseorang gendut berkaos hitam membuka acara. Di belakangnya berjajar para aktor mengenakan kostumnya masing-masing. Wajah-wajah yang tak bahagia telah disembunyikan sejak sore tadi di balik bedak. Kakek-kakek di balik wajah Menak Jingga yang merah mencoba berdiri tegak. Ranggalawe yang berdiri di sampingnya demikian pula. Sebentar lagi mereka akan bertarung untuk terakhir kalinya.

Lalu pertunjukan pun dimulai setelah beberapa orang naik ke panggung untuk menyampaikan simpati -sejumlah puisi. Mereka berduka atas kematian dan tak bisa berbuat apa-apa. Tapi siapa sesungguhnya yang harus bertanggung jawab atas kematian ini? Malam itu tak sebagaimana biasanya, mereka meninggalkan tobongnya -tobong yang sesungguhnya telah lama kosong. Kain-kain dekorasi mereka pasang di beberapa penjuru, layar-layar yang sudah tak sanggup menggambarkan apa-apa. Mereka telah lama kehilangan warna. Serupa bendera-bendera kematian. Gerbang tobong juga mereka pasang sebagai penanda merekalah satu-satunya rombongan ketoprak tobong yang tersisa.
Ratu Kencana Wungu duduk di atas singgasananya. Kursi kayu bercat merah yang terlambat dibawa masuk ke panggung. Kelihatan karena tak ada layar untuk menutup pergantian. Semuanya diputuskan untuk dibuka malam itu. Termasuk kegagalan mereka untuk bertahan sebagai seniman. Kencana Wungu lantas menembang menyapa yang datang. Patih Logender duduk di hadapannya, manggut-manggut menerima kenyataan bahwa suara Kencana Wungu terlalu lirih untuk sebuah pertunjukan di tengah lapang. Yang riuh rendah oleh suara kendaraan dan pasangan-pasangan muda yang pacaran di atas sepeda panjang. Rarasati si Patih Dalam tak kebagian kursi. Ia berdiri saja di samping Kencana Wungu. Sementara para ksatria duduk di bawah, bersesakan dan saling menutupi: Layang Seta, Layang Kumitir, Menak Koncar, dan beberapa prajurit tanpa nama alias bala depak yang senantiasa terdepak. Panggung sudah terlalu sempit untuk menampung tubuh-tubuh mereka. Negeri dalam keadaan baik-baik saja, demikianlah yang kutangkap samar-samar dari percakapan mereka. Rakyat hidup makmur kerta raharja. Tak kurang suatu apa. Mereka tampak gembira dengan sandiwara itu. Bercakap-cakap diselingi canda dan tawa. Patih Logender memamerkan kesaktian sepasang anaknya, Seta dan Kumitir. Hanya Adipati Tuban, Ranggalawe, yang tak kelihatan batang hidungnya. Adipati paling sakti itu konon sedang bertapa di rumahnya. Mungkin pula tak punya ongkos berangkat ke Majapahit. Bisa saja.
Kulihat ke belakang. Cukup banyak juga yang datang. Orang-orang yang sekadar lewat. Atau sejumlah orang yang melayat. Kabar kematian kelompok ini memang sudah disebar di koran-koran dan facebook. Seorang anak kecil yang duduk di belakangku bertanya pada bapaknya. Itu apa? Ketoprak, jawab bapaknya. Lalu Menak Jingga di samping panggung memukul kepraknya. Rupanya malam itu ia merangkap sebagai dalang sekaligus tukang keprak. Bunyi keprak itu membangunkan Angkat Buta yang sejak awal tiduran di belakang gamelan. Ia pun bergegas masuk ke dalam panggung untuk menyampaikan pesan junjungannya, Menak Jingga. Si Adipati buruk rupa itu menagih janji sang Ratu Ayu. Dulu semasa ia masih bernama Jaka Umbaran yang berwajah tampan ia pernah dijanjikan untuk mendapatkan Kencana Wungu jika berhasil mengalahkan Kebo Marcuet, pemberontak yang sakti mandraguna. Sang pemberontak berhasil dikalahkan, tapi Jaka Umbaran terpaksa pulang dengan wajah dan tubuh babak belur. Jika tak ada Dayun yang menolong mungkin ia sudah lama mati.
Rarasati merobek-robek surat itu. Layang Seta dan Layang Kumitir tanpa perintah selain karena pongah menghajar utusan dari Blambangan itu. Angkat Buta berlari ke alun-alun. Angkat Buta selalu menantinya di sana selama bertahun-tahun. Perang tak terhindarkan. Gantian para bala dupak mendapatkan ruang. Dengan gagah berani mereka berperang. Melakukan adegan-adegan berbahaya. Beberapa kali mereka terlontar ke luar panggung. Terkapar di tanah lapang lalu dengan cepat bangun lagi mengejar sang lawan. Ada juga prajurit yang kedua tangannya buntung. Ialah yang paling kerap terlontar keluar panggung. Penonton terbahak dan bersorak meski adegan perkelahian ini sama sekali tak menawan. Ada pula yang malah jatuh kasihan.
Bisa ditebak, mereka telah mengulanginya beratus kali, Layang Seta dan Layang Kumitir kalah. Logender menolongnya dan membiarkan utusan-utusan Blambangan itu pulang.
Di Lumajang enam perempuan menari-nari. Menari sejadi-jadinya.
Mas mas mas aja diplerok (Mas mas mas jangan dipelototin)
Mas mas mas aja dipoyoki (Mas mas mas jangan digodain)
Karepku njaluk diesemi 2 (Pinginnya minta disenyumin)
Ruang pecah berkeping-keping. Mereka menyebar ke segenap penjuru membawa piring. Mendatangi penonton satu per satu, menjual cendera mata: gantungan kunci bertuliskan Ketoprak is the place where we live and where we die… berlatar orang sendirian mendirikan atap tobong di langit yang biru cerah. Mereka terus beredar dalam kegelapan. Ada pula yang membawa bonang dan meminta uang. Lagu berlanjut. Apa saja yang penting berirama dangdut. Beberapa penonton naik ke panggung dan bergoyang. Lalu lampu tiba-tiba mati. Gamelan terus dibunyikan. Lagu terus dinyanyikan. Beberapa orang tampak sibuk mencari kesalahan. Menyusuri kabel demi kabel. Memeriksa bensin di dalam generator. Berkali-kali mereka pernah mengalaminya, mengulang kesalahan-kesalahan yang sama. Berkali-kali mereka ngebut di jalanan masih dengan pakaian wayang untuk membeli bensin agar pertunjukan tetap bisa dilanjutkan. Alhamdulillah, lampu mati tak lama. Lampu yang semenjana itu menyala kembali. Perempuan-perempuan itu sudah kembali ke panggung dan menjadi istri-istri dari Adipati Menak Koncar. Lalu adegan domestik di tengah lapangan, bocor-bocor tak karuan. Percakapan yang lamat-lamat itu terus berlangsung hingga Menak Jingga menabuh keprak untuk menandai kedatangannya sendiri. Ia masuk ditemani Dayun, abdinya yang setia.
Menak Koncar menyambutnya dengan hangat meski tahu tak berapa lama lagi mereka akan bertengkar dan ia akan kehilangan Mentarwati, istrinya yang pertama. Pertengkaran dimulai ketika Menak Jingga meminta bantuan Menak Koncar untuk mengawinkannya dengan Kencana Wungu. Menak Koncar meledak marah. Ia tak sanggup membayangkan ratunya yang jelita bersanding dengan manusia buruk rupa. Mentarwati bersedia mencarikan jodoh untuk Menak Jingga. Tapi Menak Jingga keras kepala. Sambil menyembah-nyembah kaki Mentarwati, Menak Jingga terus menyebut-nyebut nama Kencana Wungu. Mentarwati sebal dan memukul kepala Menak Jingga. Pertarungan kembali terjadi di atas panggung sempit itu. Kali ini yang tampil adalah prajurit-prajurit perempuan. Dengan gerak yang luar biasa kikuk -jangan dibayangkan pertarungan antara Lasmini versus Mantili dalam film Saur Sepuh- mereka saling pukul dan tusuk. Penonton yang jumlahnya sudah jauh berkurang kembali terbangun. Bertepuk tangan menyemangati pertempuran prajurit Lumajang dan Blambangan. Pertempuran itu berakhir dengan tewasnya Mentarwati. Menak Jingga menusuk tubuh perempuan itu berali-kali dengan kerisnya. Menak Koncar datang terlambat. Ia hanya mendapati tubuh istrinya yang dingin dan berlumuran darah. Ia menangis dan pelan-pelan mengangkat tubuh istrinya. Adegan yang direncanakan dramatis itu hancur berantakan. Menak Koncar ternyata tak kuat membopong tubuh perempuan itu. Makan nasi sehari sekali dengan selingan mie instan ternyata membuat Adipati Lumajang itu kekurangan tenaga. Tak ada yang datang membantunya. Penonton kembali bersorak. Mereka menyemangati Menak Koncar dengan tepuk tangan. Akhirnya dengan susah payah, juga didorong rasa malu, ia berhasil membawa istrinya keluar panggung. Dan buru-buru dijatuhkannya begitu sampai di tepian panggung.
Lalu lagu gembira mencoba membangkitkan suasana. Gending Badutan Sragen: Rewel. Omonga terus terang yen pancen kowe bosen. Ora perlu kakehan alasan… (Bicaralah terus terang jika kamu bosan. Tidak perlu banyak alasan…)
Seorang pelawak masuk ke panggung dan me­nari sekenanya. Ia pelawak karena kumisnya mirip Hitler. Entah sejak kapan pelawak-pelawak kita memakai kumis macam itu. Mungkin sejak mereka menonton Charlie Chaplin. Mungkin pula suatu kali seorang pelawak pendahulu secara tak sengaja mengusapkan jelaga di atas bibirnya. Lalu dua kawannya datang menyusul. Penonton menanti kelucuan apa yang akan mereka munculkan. Tapi tak ada. Mereka sudah terlalu lelah untuk mencari bahan lawakan. Mereka hanya bercanda tentang lapar. Mereka pura-pura makan sampai kenyang. Mereka memesan makanan-makanan terenak yang mereka impikan. Dua bungkus rokok dilemparkan kepada mereka. Seorang pelawak pun turun ke panggung, memungutnya. Ia melempar satu bungkus ke arah para penabuh gamelan. Di tengah mereka berkhayal makan sate kambing datang seorang penonton memberi amplop. Minta lagu Prau Layar, katanya. Am­plop itu pun dibuka. Berisi duit yang langsung me­reka hitung satu per satu. Lembaran-lembaran uang berwarna merah itu berjumlah tujuh lembar. Semua orang bertepuk tangan. Mungkin itu adalah saweran paling banyak yang pernah mereka dapatkan. Sayang mereka mendapatkannya di pertunjukan terakhirnya.
Malam ini mungkin mereka akan mendapat lebih dari 2.000 rupiah per orang, tidak seperti malam-malam biasanya. Mereka memanggil juragan mereka naik ke atas panggung. Sang juragan, lekaki berkaos hitam yang tadi membuka acara mengucapkan terima kasih atas bentuk simpati tersebut. Dan ia pun menyanyikan Caping Gunung karya maestro keroncong Gesang yang baru saja meninggal dunia. Para pelawak mengingatkan bahwa mereka seharusnya menyanyi Prau Layar. Tapi lelaki itu mungkin tak mendengarnya. Ia menyanyi Caping Gunung. Ia meminta para pelawak menari. Tapi tak ada yang menari. Setelah lagu selesai kembali ia mengulang kata pamitnya. Malam ini kami pamit mati. Seperti syair sebuah lagu, katanya. Lilanana pamit mulih… (Relakanlah aku pamit pulang…)
Lilanana pamit mulih (Relakan aku pamit)
Pesti kula yen dudu jodhone (Aku memang bukan jodohmu)
Muga enggal antuk sulih (Semoga segera mendapat ganti)
Wong sing bisa ngladeni slirane (Orang yang bisa mendampingimu)
Pancen abor jroning ati (Memang berat rasanya)
Ninggal ndika wong sing ndak tresnani (Meninggalkan orang yang kucintai)
Nanging badhe kados pundi (Tapi mau bagaimana lagi)
Yen kawula saderma nglampahi3 (Aku cuma sekadar melakoni)
Lelaki itu kemudian memanggil seorang tamu yang datang dari Jakarta. Seorang aktivis perempuan yang cantik. Ia meminta perempuan itu menyampaikan orasinya. Sang perempuan dengan berapi-api mengutuk kematian-kematian seni tradisi. Ia menyalahkan masyarakat yang tak lagi menghargainya. Ia menyalahkan pemerintah yang tak pernah merawatnya. Ia menyalahkan organ dangdut yang mematikan sawah para seniman tradisi. Lalu ia turun dan pertunjukan kembali berlangsung.
Malam sudah larut. Sebagian besar penonton sudah pulang. Sudah larut malam pula di Kadipaten Tuban. Sang Adipati Ranggalawe tengah bercakap-cakap dengan istrinya. Ia merisaukan keadaan Majapahit yang tak lagi tentram. Percakapan tampak dipercepat. Mungkin karena penonton yang semakin sedikit. Ranggalawe buru-buru ke sanggar pamujan. Berdoa dan membakar kemenyan. Ia bersila membelakangi penonton. Sebuah tembang palaran mengalun keras dari mulutnya. Menak Koncar datang menemuinya. Melaporkan kebrutalan Menak Jingga yang makin menjadi-jadi. Menak Koncar menangisi kematian istrinya, menangisi Lumajang yang sudah berada di genggaman Menak Jingga. Bergetar dada Ranggalawe mendengar tangisan Menak Koncar, kemenakannya. Segera ia memanggil Wangsapati ajudannya. ”Ambil Payung Tunggul Naga, malam ini aku akan berangkat ke Lumajang!”
Adegan pertemuan Ranggalawe dan Menak Jingga segera disusun. Menak Jingga menyambut kedatangan Ranggalawe dengan baik. Ia menghaturkan hormat pada orang yang paling disegani di Majapahit itu. Ranggalawe dengan tenang mendengarkan kisah Menak Jingga. Ia bisa mengerti perasaan Menak Jingga yang kecewa karena ditolak oleh Ratu Kencana Wungu. Dalam hal ini ia menyalahkan Kencana Wungu yang mengingkari janjinya. Tapi ia juga mengutuk Menak Jingga yang telah membuat huru-hara di Majapahit. Maka, dengan segala hormat ia minta Menak Jingga menghentikan pemberontakannya. Menak Jingga menggelengkan kepalanya. Ia meminta maaf tak bisa menghentikan semuanya. Maka keduanya pun berhadapan.
Tak ada yang bisa menandingi kesaktian Ranggalawe selama Payung Tunggul Naga tetap memayunginya. Menak Jingga yang terdesak segera menghujani Wangsapati si pembawa payung dengan panahnya. Pengawal nahas itu pun terjungkal dengan beberapa anak panah menancap di tubuhnya. Ranggalawe terus maju. Ia tak peduli dengan apa-apa lagi. Kematian Wangsapati begitu melukai hatinya. Dengan cepat ia berhasil menangkap Menak Jingga. Ia injak kepala adipati yang berwarna merah itu. Menak Jingga tak bisa bergerak sama sekali. Ia bahkan harus merelakan Gada Wesi Kuning andalannya direbut oleh Ranggalawe. Tetapi saat Ranggalawe mengangkat gada itu tiba-tiba tubuhnya kaku. Ia mati. Tubuhnya tanpa Payung Tunggul Naga adalah tubuh paling lemah yang pernah ada. Ia kehilangan nyawa karena mengangkat Gada Wesi Kuning. Bidadari-bidadari dengan rambut panjang terurai segera berlari mengelilinginya. Menak Jingga me­me­rintahkan agar tubuh pahlawan itu dibawa pulang ke Blambangan. ”Makamkan ia dengan upacara kehormatan!”
Pertunjukan selesai. Pertunjukan terkahir mereka. Dengan cepat mereka mengemasi barang-barangnya dan pulang. Aku juga. Malam menunjuk pukul 12 tepat. Di jalan aku berpapasan lagi dengan mereka. Ranggalawe berjalan sendirian lengkap dengan pakaian kebesarannya. Beberapa pemain lain menyusul di belakangnya. Aku tak tahu ke mana mereka akan pulang malam ini. Tobong yang sudah 10 tahun mereka diami telah mengusir mereka. ***
2010
(End notes)

 

Cache Memory

Cache Memory

1.         Definisi Cache Memory

Cache berasal dari kata Cash. Dari istilah tersebut dapat didefinisikan, cache adalah tempat menyembunyikan atau tempat penyimpanan sementara. Sesuai definisi tersebut cache memory adalah tempat penyimpanan data sementara. Cache memory merupakan media penyimpanan data sekunder berkecepatan tinggi, dimana tempat menyimpan data atau informasi sementara yang sering digunakan atau diakses oleh komputer.

            Cache memory adalah memory berukuran kecil berkecepatan tinggi yang berfungsi untuk menyimpan sementara instruksi dan/atau data (informasi) yang diperlukan oleh prosesor. Boleh dikatakan bahwa cache memory ini adalah memory internal prosesor. Cache memory ini berbasis SRAM yang secara fisik berukuran kecil dan kapasitas tampung datanya juga kecil atau sedikit. Pada saat ini, cache memory ada 3 jenis, yaitu L1 cache, L2 cache, dan L3 cache.

 

2.          Jenis – jenis cache memory

Berikut beberapa jenis cache memory yang berkembang pada saat ini :

2.1. L1 Cache

     L1 Cache adalah Sejumlah kecil SRAM memori yang digunakan sebagai cache yang

     terintegrasi menyatu pada prosesor.

è Berguna untuk menyimpan secara sementara instruksi dan data, dan memastikan

bahwa prosesor memiliki supply data yangstabil untuk diproses sementara memori mengambil dan menyimpan data baru.

è L1 cache (Level 1 cache) disebut pula dengan istilah primary cache, first cache, atau level one cache.

à Transfer data dari L1 cache ke prosesor terjadi paling cepat Kecepatannya mendekati kecepatan register.

     2.2 L2 cache

Arti istilah L2 Cache adalah Sejumlah kecil SRAM memori yang berada di

motherboard dekat dengan posisi dudukan prosesor.

è Berguna untuk menyimpan sementara instruksi dan data, dan memastikan bahwa

prosesor memiliki supply data yangstabil untuk diproses sementara memori   mengambil dan menyimpan data baru

                  à (Level 2 cache) secondary cache, second level cache, atau level two cache.

è L2 cache memiliki ukuran lbih besar dibandingkan L1 namun kecepatan transfernya sedikit lebih lama dari L1cache.

2.3   L3 cache

Jarang sekali ada, hanya ada di komputer tertentu.

è Berguna ketika terdapat cache yang hilang ”missing” pada cache L1&L2

è L3 cache memiliki ukuran lbih besar dibandingkan L1 dan L2 namun kecepatan transfernya lebih lama dari L1cache dan L2 Cache.

3. Fungsi Cache Memory

Berikut beberapa fungsi cache memory :

à Mempercepat Akses data pada computer

à Meringankan kerja prosessor

à Menjembatani perbedaan kecepatan antara cpu dan memory utama.

à Mempercepat kinerja memory

4. Cara Kerja Cache Memori Komputer

Jika prosesor membutuhkan suatu data, pertama - tama ia akan mencarinya pada cache. Jika data ditemukan, prosesor akan langsung membacanya dengan delay yang sangat kecil. Tetapi jika data yang dicari tidak ditemukan,prosesor akan mencarinya pada RAM
yang kecepatannya lebih rendah. Pada umumnya, cache dapat menyediakan data yang
dibutuhkan oleh prosesor sehingga pengaruh kerja RAM yang lambat dapat dikurangi. Dengan cara ini maka memory bandwidth akan naik dan kerja prosesor menjadi lebih efisien.

Selain itu kapasitas memori cache yang semakin besar juga akan meningkatkan kecepatan kerja computer secara keseluruhan. Dua jenis cache yang sering digunakan dalam dunia komputer adalah memory caching dan disk caching. Implementasinya dapat berupa sebuah bagian khusus dari memori utama komputer atau sebuah media penyimpanan data khusus yang berkecepatan tinggi. Implementasi memory caching sering disebut sebagai memory cache dan tersusun dari memori komputer jenis SDRAM yang berkecepatan tinggi. Sedangkan implementasi disk caching menggunakan sebagian dari memori komputer. 

5. Mengapa pada saat ini cache memory masih diperlukan di komputer?

Karena kecepatan memori utama sangat rendah dibandingkan dengan kecepatan prosesor modern. Untuk perfoma yang baik, prosesor tidak dapat membuang waktunya dengan menunggu untuk mengskses intruksi dan data pada memory utama. Karenanya, sangat penting untuk memikirkan suatu skema yang mengurangi waktu dalam mengakses informasi. Karena kecepatan unit memori utama dibatasi oleh batasan elektronik dan packaging, maka solusinya harus dicari dalam pengaturan arsitekture yang berbeda. Solusi yang efisien adalah menggunakan memory cache cepat yang sebenarnya membuat memori utama tampak lebih cepat bagi prosesor daripada sebenarnya.

Keefektifan mekanisme cache didasarkan pada property program computer yang disebut locality of reference. Analisa program menunjukan bahwa sebagian besar waktu eksekusinya digunakan untuk rountine, dimana banyak intrksi dieksekusi secara berulangkali.

Instruksi tersebut dapat merupakan loop sederhana,nested loop, atau beberapa prosedur yang berulangkali saling memanggil. Pola detil actual dari rangkaian instruksi tidaklah penting, yang utama adalah banyak intruksi dalam area program yang terlokalisasi dieksekusi berulangkali selama beberapa periode, dan baian program yang lain relatifjarang diakses.

Logika Matematika

 1.1  PENGERTIAN UMUM LOGIKA

Filsafat dan matematika adalah bidang pengetahuan  rasional yang

ada  sejak  dahulu.  Jauh  sebelum  matematika  berkembang  seperti

sekarang  ini  dan  penerapannya menyentuh  hampir  seluruh  bidang  ilmu

pengetahuan modern,  ilmuwan dan  filosof yunani  telah mengembangkan

dasar pemikiran  ilmu geometri  dan  logika. Sebut  saja  THALES  (640-546

SM)  yaitu  seorang  ilmuwan  geometri  yang  juga  disebut  sebagai  bapak

filosofi  dan  penalaran  deduktif.  Ada  juga  ahli  matematika  dan  filosof

PHYTAGORAS  (572-497  SM)  dengan  dalil  phytagorasnya  yang  terkenal

yaitu a2

+b2

=c2

 .

MATEMATIKA DAN FILSAFAT

Persamaan filsafat dan matematika

  Kerja Filosof adalah berpikir konsep.

  Kerja  Matematikawan  adalah  memperjelas  konsep  yang

dikembangkan oleh filosof.

Perbedaan filsafat dan matematika

  Filsafat bebas menerapkan berbagai metode rasional.

  Matematikawan hanya menerapkan metode deduksi.

MATEMATIKA DAN LOGIKA

Menurut  BETRAND  RUSSEL  matematika  adalah  ilmu  yang

menyangkut deduksi  logis  tentang akibat-akibat dari pangkal  fikir umum

semua penalaran. 

Ini  berkaitan  dengan  konsepsi  matematika  sebagai  ilmu  formal,

ilmu  tentang  bilangan  dan  ruang,  ilmu  tentang  besaran  dan  keluasan,

ilmu  tentang hubungan, pola bentuk, dan rakitan  juga sebagai  ilmu yang

bersifat abstrak dan deduktif.

MAKNA LOGIKA

Berasal  dari  bahasa  yunani  “LOGOS”  yang  berarti  kata,  ucapan,

atau  alasan.  Logika  adalah  metode  atau  teknik  yang  diciptakan  untuk

meneliti  ketepatan  penalaran.  Logika mengkaji  prinsip-prinsip  penalaran

yang benar dan penalaran kesimpulan yang absah.  Ilmu  ini pertama kali

dikembangkan  sekitar  300  SM  oleh  ARISTOTELES  dan  dikenal  sebagai

logika  tradisioanal  atau  logika  klasik.  Dua  ribu  tahun  kemudian

dikembangkan logika modern oleh GEORGE BOOLE dan DE MORGAN yang

disebut  dengan  Logika  Simbolik  karena  menggunakan  simbol-simbol

logika secara intensif.

Dasar  pemikiran  logika  klasik  adalah  logika  benar  dan  salah  yang

disimbolkan  dengan  0  (untuk  logika  salah)  dan  1  (untuk  logika  benar)

yang  disebut  juga  LOGIKA  BINER.  Tetapi  pada  kenyataanya  dalam

kehidupan  sehari-hari  banyak  hal  yang  kita  jumpai  yang  tidak  bisa

dinyatakan  bahwa  sesuatu  itu  mutlak  benar  atau  mutlak  salah.  Ada

daerah  dimana  benar  dan  salah  tersebut  nilainya  tidak  bisa  ditentukan

mutlak benar atau mutlak salah alias kabur. 

Untuk  mengatasi  masalah  yang  terjadi  dalam  logika  klasik  yang

dikembangkan  oleh  ARISTOTELES  tersebut,  seorang  ilmuwan  dari

Universitas  California  Berkeley,  PROF.  LOTFI  A.ZADEH  pada  tahun  1965

mengenalkan suatu konsep berpikir logika yang baru yaitu LOGIKA KABUR

(FUZZY LOGIC).

PADA LOGIKA FUZZY

  Nilai  kebenarn  bukan  bersifat  crisp  (tegas)  0  dan  1  saja  tetapi

berada diantaranya (multivariabel).

  Digunakan  untuk  merumuskan  pengetahuan  dan  pengalaman

manusia  yang  mengakomodasi  ketidakpastian  ke  dalam  bentuk

matematis tanpa harus mengetahui model matematikanya.

  Pada  aplikasinya  dalam  bidang  komputer,  logika  fuzzy

diimplementasikan  untuk  memenuhi  kebutuhan  manusia  akan

sistem  komputer  yang  dapat  merepresentasikan  cara  berpikir

manusia. 

HUBUNGAN MATEMATIKA DAN LOGIKA

Menurut RUDOLF CARNAP (1931)

  Konsep  matematika  dapat  diturunkan  dari  konsep-konsep  logika

dengan melalui batasan-batasan yang jelas.

  Dalil-dalil  matematika  dapat  diturunkan  dari  aksioma-aksioma

logika dengan perantara deduksi logis secara murni.

Menurut BETRAND RUSSEL

  Logika  adalah  masa  muda  matematika  dan  matematika  adalah

masa dewasa logika.

LOGIKA DAN KOMPUTER

  Arsitektur sistem komputer tersusun atas rangkaian logika 1 (true)

dan 0 (false) yang dikombinasikan dengan sejumlah gerbang logika AND.

OR, NOT, XOR, dan NAND.

  Program  komputer  berjalan  di  atas  struktur    penalaran  yang  baik

dari  suatu  solusi  terhadap  suatu  permasalahan  dengan  bantuan

komponen program IF…THEN…ELSE, FOR…TO…DO, WHILE, CASE…OF.

1.2  LOGIKA DAN PERNYATAAN

1.2.1 LOGIKA

PENGERTIAN UMUM LOGIKA

  Logika  adalah metode  atau  teknik  yang  diciptakan  untuk meneliti

ketepatan penalaran serta mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar

dan penarikan kesimpulan yang absah.

  Ilmu  logika  berhubungan  dengan  kalimat-kalimat  (argumen)  dan

hubungan yang ada diantara kalimat-kalimat  tersebut. Tujuannya adalah

memberikan  aturan-aturan  sehingga  orang  dapat  menentukan  apakah

suatu kalimat bernilai benar.

  Kalimat  yang  dipelajari  dalam  logika  bersifat  umum,  baik  bahasa

sehari-hari  maupun  bukti  matematika  yang  didasarkan  atas  hipotesa-

hipotesa.  Oleh  karena  itu  aturan-aturan  yang  berlaku  di  dalamnya

haruslah  bersifat  umum  dan  tidak  tergantung  pada  kalimat  atau  disiplin .

ilmu  tertentu.  Ilmu  logika  lebih mengarah  dalam  bentuk  sintaks-sintaks

daripada arti dari kalimat itu sendiri.

GAMBARAN UMUM LOGIKA

  Secara umum logika dibedakan menjadi dua yaitu Logika Pasti dan

Logika Tidak Pasti. Logika pasti meliputi Logika Pernyataan (Propotitional

Logic),  Logika  Predikat  (Predicate  Logic),  Logika  Hubungan  (Relation

Logic) dan Logika Himpunan. Sedangkan logika tidak pasti meliputi Logika

Samar atau  kabur (Fuzzy Logic).

  Logika Pernyataan membicarakan  tentang pernyataan  tunggal dan

kata hubungnya sehingga didapat kalimat majemuk yang berupa kalimat

deklaratif. 

Logika  Predikat    menelaah  variabel  dalam  suatu  kalimat,

kuantifikasi dan validitas sebuah argumen.

Logika Hubungan mempelajari hubungan antara pernyataan,  relasi

simetri, refleksif, antisimtris, dll.

Logika  himpunan  membicarakan  tentang  unsur-unsur  himpunan

dan hukum-hukum yang berlaku di dalamnya.

Logika Samar merupakan pertengahan dari dua nilai biner yaitu ya-

tidak, nol-satu, benar-salah. Kondisi yang ditunjukkan oleh  logika  samar

ini  antara  lain  :  banyak,  sedikit,  sekitar  x,  sering,  umumnya.    Logika

samar  banyak  diterapkan  dalam  kecerdasan  buatan,  mesin  pintar  atau

sistem  cerdas  dan  alat-alat  elektronika.  Program  komputer  dengan

menggunakan logika samar mempunyai kapasitas penyimpanan lebih kecil

dan lebih cepat bila dibanding dengan logika biner.

ALIRAN DALAM LOGIKA

LOGIKA TRADISIONAL

  Pelopornya adalah Aristoteles (384-322 SM)

  Terdiri  dari  analitika  dan  dialektika.  Ilmu  analitika  yaitu  cara

penalaran yang didasarkan pada pernyataan yang benar sedangkan

dialektika yaitu cara penalaran yang didasarkan pada dugaan. 

LOGIKA METAFISIS

  Dipelopori oleh F. Hegel (1770-1831 M)

  Menurut Hegel, logika dianggap sebagai metafisika dimana susunan

pikiran dianggap sebagai kenyataan.

LOGIKA EPISTIMOLOGI

  Diperkenalkan  oleh  FH.  Bradley  (1846-1924)  dan  Bernhard

Bosanquet (1848-1923 M).

  Prisip  dari  logika  epistimologi  ini  adalah  untuk  mencapai

pengetahuan yang memadai, pikiran yang logis dan perasaan halus

digabungkan.  Selain  itu,  untuk mencapai  kebenaran,  logika  harus

dihubungkan dengan seluruh pengetahuan yang lainnya.

LOGIKA INSTRUMENTALIS/FRAGMATIS

  Dipelopori oleh Jhon Dewey (1859-1952)

  Prinsipnya  adalah  logika  merupakan  alat  atau  instrumen  untuk

menyelesaikan masalah.  

LOGIKA SIMBOLIS

  Logika simbolis adalah ilmu tentang penyimpulan yang sah (absah)

yang  dikembangkan  menggunakan  metod  ematematika  dan

bantuan  simbol-simbol khusus  sehingga memungkinkan  seseorang

menghindari makna ganda dari bahasa sehari-hari.

  Pelopornya adalah Leibniz, De Morgan, dan Boole

  Logika  ini menggunakan  bahasa  simbol  untuk mempelajari  secara

rinci  bagaimana  akal  harus  bekerja  dan  bercirikan  teknis,

matematis,  dan  ilmiah.  Pemakaian  simbol  matematika  ini  untuk

mewakili bahsa dalam bentuk pernyataan yang bernilai benar atau

salah.

  Logika  simbolis  ini  kemudian  menjadi  dasar  logika  matematika

modern yaitu logika formal yang semata-mata menelaah bentuk da

bukan isi dari apa yang dibicarakan.

1.2.2 PERNYATAAN (PROPOSISI)

Kata  merupakan  rangkaian  huruf  yang  mengandung  arti,

sedangkan  kalimat  adalah  kumpulan  kata  yang  disusun menurut  aturan

tata  bahasa  dan  mengandung  arti.  Di  dalam  matematika  tidak  semua

pernyataan  yang  bernilai  benar  atau  salah  saja  yang  digunakan  dalam

penalaran. Pernyataan disebut  juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang

bersifat menerangkan. Disebut juga proposisi.

Pernyataan/  Kalimat  Deklaratif/  Proposisi  adalah  kalimat  yang  bernilai

benar atau salah tetapi tidak keduanya.

Contoh :

1.  Yogyakarta adalah kota pelajar  (Benar).

2.  2+2=4        (Benar).

3.  Semua manusia adalah fana  (Benar).

4.  4 adalah bilangan prima    (Salah).

5.  5x12=90        (Salah).

Tidak semua kalimat berupa proposisi

Contoh : 

1.  Dimanakah letak pulau bali?.

2.  Pandaikah dia?.

3.  Andi lebih tinggi daripada Tina.

4.  3x-2y=5x+4.

5.  x+y=2.

1.2.3 PENGHUBUNG KALIMAT DAN TABEL KEBENARAN

Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan

proposisi  baru  lewat  penggunaan  operator  logika.  Proposisi  baru  yang

dihasilkan  dari  kombinasi  tersebut  disebut  dengan  proposisi  majemuk

(compound  composition),  sedangkan  proposisi  yang  bukan  merupakan

hasil  dari  kombinasi  proposisi  lain    disebut  proposisi  atomik.  Proposisi

majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik. 

# Dalam logika dikenal 5 buah penghubung 

Simbol  Arti  Bentuk

¬  Tidak/Not/Negasi  Tidak………….

∧  Dan/And/Konjungsi  ……..dan……..

∨  Atau/Or/Disjungsi  ………atau…….

⇒  Implikasi  Jika…….maka…….

⇔  Bi-Implikasi  ……..bila dan hanya bila……..

Contoh 1.1 :

Misalkan : p menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama bunga”

      Q menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah”

Maka  kalimat  “  Mawar  adalah  nama  bunga  dan  Apel  adalah  nama

buah “

Dinyatakan dengan simbol  p ∧ ∧∧ ∧ q

Contoh 1.2 :

Misalkan  p: hari ini hari minggu

      q: hari ini libur

nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :

a.  Hari ini tidak hari minggu tetapi libur

b.  Hari ini tidak hari minggu dan tidak libur

c.  Tidak benar bahwa hari ini hari minggu dan libur

Penyelesaian

a.  Kata  “tetapi”  mempunyai  arti  yang  sama  dengan  dan  sehingga

kalimat (a) bisa ditulis sebagai : ¬p ∧ ∧∧ ∧      q qq q     

b.  ¬p ∧ ∧∧ ∧¬q qq q     

c.  ¬(p ∧ ∧∧ ∧      q qq q) )) )     

NEGASI (INGKARAN)

Jika  p  adalah  “  Semarang  ibukota  Jawa  Tengah”,  maka  ingkaran  atau

negasi  dari  pernyataan  p  tersebut  adalah  ¬p  yaitu  “  Semarang  bukan

ibukota  Jawa Tengah” atau  “Tidak  benar  bahwa Semarang  ibukota  Jawa

Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (¬p) adalah

bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.

KONJUNGSI

Konjungsi  adalah  suatu  pernyataan  majemuk  yang  menggunakan

penghubung “DAN/AND” dengan notasi “∧ ∧∧ ∧”

Contoh 1.3:

p: Fahmi makan nasi

Q:Fahmi minum kopi  

Maka p∧q : Fahmi makan nasi dan minum kopi

Pada  konjungsi  p∧q  akan  bernilai  benar  jika  baik  p  maupun  q  bernilai

benar.  Jika  salah  satunya  (atau  keduanya)  bernilai  salah  maka  p∧q

bernilai salah.

DISJUNGSI

Disjungsi  adalah  pernyataan majemuk  yang menggunakan  penghubung

“ATAU/OR” dengan notasi “∨ ∨∨ ∨”.

Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 arti yaitu :

a.  INKLUSIF OR

Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya true”

Contoh  : 

p : 7 adalah bilangan prima

q : 7 adalah bilangan ganjil

p ∨ q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil 

Benar  bahwa  7  bisa  dikatakan  bilangan  prima  sekaligus  bilangan

ganjil.

b.  EKSLUSIF OR

Yaitu jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.

Contoh :

  p : Saya akan melihat pertandingan bola di TV.

  q : Saya akan melihat pertandingan bola di lapangan.

  p ∨ q : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau lapangan.

Hanya  salah  satu  dari  2  kalimat  penyusunnya  yang  boleh  bernilai

benar yaitu jika “Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja

atau di lapangan saja tetapi tidak keduanya.

IMPLIKASI

Misalkan  ada  2  pernyataan  p  dan  q,  untuk  menunjukkan  atau

membuktikan  bahwa  jika  p  bernilai  benar  akan  menjadikan  q  bernilai

benar  juga,  diletakkan  kata  “JIKA”  sebelum  pernyataan  pertama  lalu

diletakkan  kata  “MAKA”  sebelum  pernyataan  kedua  sehingga  didapatkan

suatu  pernyataan  majemuk  yang  disebut  dengan

“IMPLIKASI/PERNYATAAN  BERSYARAT/KONDISIONAL/  HYPOTHETICAL

dengan notasi “⇒ ⇒⇒ ⇒”.

Notasi p⇒q dapat dibaca :

1.  Jika p maka q

2.  q jika p

3.  p adalah syarat cukup untuk q

4.  q adalah syarat perlu untuk p

Contoh 1.4:

1.  p : Pak Ali adalah seorang haji.

q : Pak Ali adalah seorang muslim.

p ⇒ q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang 

muslim.

2.      p : Hari hujan.

q : Adi membawa payung.

Benar atau salahkah pernyataan berikut?

a.  Hari  benar-benar  hujan  dan  Adi  benar-benar  membawa

payung.

b.  Hari benar-benar hujan tetapi Adi tidak membawa payung.

c.  Hari tidak hujan tetapi Adi membawa payung.

d.  Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung.

BIIMPLIKASI

Biimplikasi  atau  bikondosional  adalah  pernyataan  majemuk  dari  dua

pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “p ⇔ q” yang bernilai

sama dengan (p ⇒q) ∧ (q ⇒ p)  sehingga dapat dibaca “ p jika dan hanya

jika q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2 pernytaan  hanya akan

bernilai  benar  jika  implikasi  kedua  kalimat  penyusunnya  sama-sama

bernilaii benar. 

Contoh 1.5 :

    p : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus.

    q : Dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.

    p  ⇔  q  :  Dua  garis  saling  berpotongan  adalah  tegak  lurus  jika  dan

hanya jika dan hanya jika dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.

TABEL KEBENARAN

p  q  ¬p  ¬q  p∨q  p∧q  p⇒q  p⇔q  p ⊕ q

T  T  F  F  T  T  F  T  T

T  F  F  T  T  F  T  F  F

F  T  T  F  T  F  T  T  F

F  F  T  T  F  F  F  T  T

Untuk  menghindari  perbedaan  konotasi  dan  keganjilan  arti  dalam

menerjemahkan  simbol-simbol  logika  maka  dalam  matematika  tidak

disyaratkan  adanya  hubungan  antara  kedua  kalimat  penyusunnya.

Kebenaran suatu kalimat berimplikasi semata-mata hanya tegantung pada

nilai  kebenaran  kaliamat  penyusunnya.  Karena  itu  digunakan  tabel

kebenaran  penghubung.  Jika  p  dan  q  adalah  kalimat-kalimat  dimana

T=true/benar  dan  F=false/salah,  maka  untuk  n  variable  (p,q,…)  maka

tabel kebenaran memuat 2n baris.

1.2.4   INGKARAN (NEGASI) SUATU PENYATAAN

NEGASI SUATU KONJUNGSI

Contoh : Fahmi makan nasi dan minum kopi

Suatu  konjumgsi  akan  bernilai  benar  jika  kedua  kalimat

penyusunnya  yaitu  p  dan  q  bernilai  benar,  sedangkan  negasi  adalah

pernyataan  yang  bernilai  salah  jika  pernyataan  awalnya  bernilai  benar 

dan bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah.   

  Oleh karena  itu negasi dari : “Fahmi makan nasi dan minum kopi”

adalah  suatu  pernyataan  majemuk  lain  yang  salah  satu  komponennya

merupakan  negasi  dari  komponen  pernyataan  awalnya.  Jadi  negasinya

adalah: “Fahmi tidak makan nasi atau tidak minum kopi”.

Disini berlaku hukum De Morgan yaitu : ¬(p∧q)  ekuivalen dengan ¬p∨¬q

NEGASI SUATU DISJUNGSI

Contoh : “Fahmi makan nasi atau minum kopi”

Suatu  disjungsi  akan  bernilai  salah  hanya  jika  kedua  komponen

penyusunnya bernilai salah., selain  itu benar. Oleh karena  itu negasi dari

kalimat    diatas  adalah  :  “  Tidak  benar  bahwa  Fahmi makan  nasi  atau

minum  kopi”  atau  dapat  juga  dikatakan  “Fahmi  tidak  makan  nasi  dan

tidak  minum  kopi.  Disini  berlaku  hukum  De  Morgan  yaitu  :  ¬ ¬¬ ¬(p∨ ∨∨ ∨q)  ≡ ≡≡ ≡

¬ ¬¬ ¬p∧ ∧∧ ∧¬ ¬¬ ¬q

NEGASI SUATU IMPLIKASI

Contoh 1.6 : “Jika hari hujan maka Adi membawa payung”.

  Untuk  memperoleh  negasi  dari  pernyataan  diatas,  kita  dapat

mengubah  bentuknya  ke  dalam  bentuk  disjungsi  kemudian  dinegasikan,

yaitu :

p⇒ ⇒⇒ ⇒ q ≡ ≡≡ ≡ ¬ ¬¬ ¬p∨ ∨∨ ∨q

Maka negasinya

¬ ¬¬ ¬( p⇒ ⇒⇒ ⇒ q) ≡ ≡≡ ≡ ¬ ¬¬ ¬(¬ ¬¬ ¬p∨ ∨∨ ∨q) ≡ ≡≡ ≡ p∧ ∧∧ ∧¬ ¬¬ ¬q

NEGASI SUATU BIIMPLIKASI

  Biimplikasi  atau  bikondisional  adalah  pernyataan  majemuk

dari dua pernyataaan p dan q yang dinotasikan dengan p ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ q ≡ ≡≡ ≡ (p ⇒ ⇒⇒ ⇒ q) ∧ ∧∧ ∧

(q ⇒ ⇒⇒ ⇒ p) sehingga : ¬(p ⇔ q) ≡ ¬ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] 

                             ≡ ¬ [(¬p∨q ) ∧ (¬q∨p)]

                                  ≡ ¬ (¬p∨q ) ∨ ¬(¬q∨p)

                   ¬ ¬¬ ¬(p ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ q) ≡ ≡≡ ≡ (p∧ ∧∧ ∧¬ ¬¬ ¬q ) ∨ ∨∨ ∨ (q∧ ∧∧ ∧¬ ¬¬ ¬p)

1.3  TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, DAN CONTINGENT

Tautologi  adalah  suatu  bentuk  kalimat  yang  selalu  bernilai  benar

(True) tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat

penyusunnya,  sebaliknya  kontradiksi  adalah  suatu  bentuk  kalimat  yang

selalu  bernilai  salah  (False),  tidak  peduli  bagaimanapun  nilai  kebenaran

masing-masing kalimat penyusunnya.

Dalam  tabel  kebenaran,  suatu  tautologi  selalu  bernilai  True  pada

semua  barisnya  dan  kontradiksi  selalu  bernilai  False  pada  semua  baris.

Kalau  suatu  kalimat  tautologi  diturunkan  lewat  hukum-hukum  yang  ada

maka pada akhirnya akan menghasilkan True, sebaliknya kontradiksi akan

selalu bernilai False.  

  Jika pada semua nilai kebenaran menghasilkan nilai F dan T, maka

disebut formula campuran (contingent).

Contoh 1.7 :

1.  Tunjukkan bahwa p∨ ∨∨ ∨(¬ ¬¬ ¬p) adalah tautologi!

p  ¬p  p∨(¬p)

T  T  T

T  F  T

F  T  T

F  F  T

2.  Tunjukkan bahwa (p∨ ∨∨ ∨q) ∨ ∨∨ ∨ [(¬ ¬¬ ¬p) ∧ ∧∧ ∧ (¬ ¬¬ ¬q)] adalah tautologi!

p  q  ¬p  ¬q  p∨q  ¬p ∧ ¬q  (p∨q) ∨ [(¬p) ∧ (¬q)]

T  T  F  F  T  F  T

T  F  F  T  T  F  T

F  T  T  F  T  F  T

F  F  T  T  F  T  T

3.  Tunjukkan bahwa (p∨ ∨∨ ∨q) ∧ ∧∧ ∧ [(¬ ¬¬ ¬p) ∧ ∧∧ ∧ (¬ ¬¬ ¬q)] adalah kontradiksi!

p  q  ¬p  ¬q  p∨q  ¬p ∧ ¬q  (p∨q) ∧ [(¬p) ∧ (¬q)]

T  T  F  F  T  F  F

T  F  F  T  T  F  F

F  T  T  F  T  F  F

F  F  T  T  F  T  F

4. Tunjukkan bahwa [(p∧ ∧∧ ∧q) ⇒ ⇒⇒ ⇒ r] ⇒ ⇒⇒ ⇒ p adalah contingent!   

    

p  q  r  p∧q  (p∧q) ⇒ r  [(p∧q) ⇒ r] ⇒ p  

T  T  T  T  T  T

T  T  F  T  T  T

T  F  T  F  F  T

T  F  F  F  F  T

F  T  T  F  T  F

F  T  F  F  T  F

F  F  T  F  T  F

F  F  F  F  T  F

 

1.4  KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

Perhatikan pernytaan di bawah ini! ¬  ∧  ∨  ⇒  ⇔

“Jika  suatu  bender  adalah  bendera  RI  maka  ada  warna  merah  pada

bendera tersebut”

Bentuk umum implikasi di atas adalah “p ⇒ ⇒⇒ ⇒ q” dengan 

p : Bendera RI  

q : Bendera yang ada warna merahnya.

Dari implikasi diatas dapat dibentuk tiga implikasi lainnya yaitu :

1.  KONVERS, yaitu q ⇒ ⇒⇒ ⇒ p

Sehingga implikasi diatas menjadi :

“  Jika  suatu  bendera  ada  warna  merahnya,  maka  bendera  tersebut

adalah bendera RI”.

2.  INVERS, yaitu ¬ ¬¬ ¬p ⇒ ⇒⇒ ⇒ ¬ ¬¬ ¬q

Sehingga implikasi diatas menjadi :

“ Jika suatu bendera bukan bendera RI, maka pada bendera  tersebut

tidak ada warna merahnya”.

3.  KONTRAPOSISI, yaitu ¬ ¬¬ ¬q ⇒ ⇒⇒ ⇒ ¬ ¬¬ ¬p

Sehingga implikasi di atas menjadi :

“  Jika  suatu  bendera  tidak  ada  warna  merahnya,  maka  bendera

tersebut bukan bendera RI”.

Suatu  hal  yang  penting  dalam  logika  adalah  kenyataan  bahwa  suatu

implikasi  selalu  ekuivalen  dengan  kontraposisinya,  akan  tetapi  tidak

demikian halnya dengan  invers dan konversnya.

Hal ini dapat dilihat dari tabel kebenaran berikut

p  q  ¬p  ¬q  p⇒q  q ⇒ p  ¬p ⇒ ¬q  ¬q ⇒ ¬p

T  T  F  F  T  T  T  T

T  F  F  T  F  T  T  F

F  T  T  F  T  F  F  T

F  F  T  T  T  T  T  T

INGKARAN KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

Contoh 1.8: 

Tentukan  ingkaran  atau  negasi  konvers,  invers,  dan  kontraposisi  dari

implikasi berikut. 

“Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera  tersebut berwarna

merah dan putih”

Penyelesaian

Misal p : Suatu bendera adalah bendera RI

        q : Bendera tersebut berwarna merah dan putih

maka  kalimatnya menjadi  p ⇒  q  atau  jika menggunakan  operator  dan

maka p ⇒ q ekuivalen(sebanding/≈) dengan  ¬p ∨ q. Sehingga

1.  Negasi dari implikasi

Implikasi   : (p⇒q) ≈ ¬p ∨ q

Negasinya  : ¬(¬p∨q) ≈ p∧¬q

Kalimatnya  :“Suatu  bendera  adalah  bendera  RI  dan  bendera      

tersebut tidak berwarna merah dan putih”.   LOGIKA

14 | i m a n s o f y a n i 

2.  Negasi dari konvers

Konvers     : q⇒p ≈ ¬q∨p

Negasinya  : ¬(¬q∨p) ≈ q∧¬p

Kalimatnya  :  “Ada/Terdapat  bendera  berwarna  merah  dan  putih

tetapi bendera tersebut bukan bendera RI”.

3.  Negasi dari invers

Invers    : ¬p ⇒ ¬q ≈ ¬(¬p)∨¬q) ≈ p∧¬q

Negasinya  : ¬(p∧¬q) ≈ ¬p∨q

Kalimatnya  :  “Suatu  bendera  bukan  bendera  RI  atau  bendera

tersebut berwarna merah dan putih”.

4.  Negasi dari kontraposisi

Kontraposisi  : ¬q ⇒ ¬p ≈ ¬(¬q)∨¬p ≈ q∨¬p

Negasinya  : ¬(q∨¬p) ≈ ¬q∧p

Kalimatnya  : “ Suatu bendera tidak berwarna merah dan putih dan

bendera tersebut adalah bendera RI”.

1.5 EKUIVALENSI LOGIKA

  Pada  tautologi,  dan  juga  kontradiksi,  dapat  dipastikan  bahwa  jika

dua  buah  ekspresi  logika  adalah  tautologi,  maka  kedua  buah  ekspresi

logika  tersebut  ekuivalen  secara  logis,  demikian  pula  jika  keduanya

kontradiksi.  Persoalannya  ada  pada  contingent,  karena  memiliki  semua

nilai  T  dan  F.  Tetapi  jika  urutan  T  dan  F  atau  sebaliknya  pada  tabel

kebenaran  tetap  pada  urutan  yang  sama maka  tetap  disebut  ekuivalen

secara logis. Perhatikan pernyataan berikut :

Contoh 1.9 :

1. Dewi sangat cantik dan peramah.

2. Dewi peramah dan sanagt cantik.

Kedua  pernyataan  di  atas,  tanpa  dipikir  panjang,  akan  dikatakan

ekuivalen  atau  sama  saja.  Dalam  bentuk  ekspresi  logika  dapat  ditulis

sebagai berikut :

A = Dewi sangat cantik.

B = Dewi peramah.

Maka ekspresi logikanya :

1. A ∧ B

2. B ∧ A

Jika dikatakan kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis

maka  dapat  ditulis A  ∧ B  ≡ B  ∧ A.  Ekuivalensi  logis  dari  kedua  ekspresi

logika  tersebut dapat dibuktikan dengan  tabel kebenaran sebagai berikut

ini :

A  B  A∧B  B∧A

T  T  T  T

T  F  F  F

F  T  F  F

F  F  F  F

Pembuktian  dengan  tabel  kebenaran  diatas,  walaupun  setiap  ekspresi

logika memiliki  nilai  T  dan  F,  tetapi  karena memiliki  urutan  yang  sama,

maka  secara  logis  tetap dikatakan  ekuivalen. Tetapi  jika urutan  T dan  F

tidak  sama,  maka  tidak  biasa  dikatakan  ekuivalen  secara  logis.  Tabel

kebenaran  merupakan  alat  untuk  membuktikan  kebenaran  ekuivalensi

secara  logis. Kesimpulan  diambil  berdasarkan  hasil dari  tabel  kebenaran

tersebut. Lihat pernyataan berikut ini :

Contoh 1.10 :

1. Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur.

2. Adalah tidak benar jika Badu pandai dan jujur.

Secara intuitif dapat ditebak bahwa kedua pernyataan di atas sebenarnya

sama,  tetapi  bagaimana  jika  idbuktikan  dengan  menggunkan  tabel

kebenaran berdasarkan ekspresi logika. Adapaun langkah-langkahnya :

1. Ubah dahulu argumen di atas ke dalam bentuk ekspresi/notasi logika.

    Misal : A=Badu pandai

       B=Badu jujur

    Maka kalimatnya menjadi

    1. ¬A∨¬B

    2. ¬(A∧B)

2. Buat tabel kebenarannya

A  B  ¬ ¬¬ ¬A  ¬ ¬¬ ¬B  A∧ ∧∧ ∧B  ¬ ¬¬ ¬A∨ ∨∨ ∨¬ ¬¬ ¬B  ¬ ¬¬ ¬(A∧ ∧∧ ∧B)

T  T  F  F  T  F  F

T  F  F  T  F  T  T

F  T  T  F  F  T  T

F  F  T  T  F  T  T

Perhatikan  ekspresi  di  atas!  Meskipun  kedua  ekspresi  logika  di  atas

memiliki  nilai  kebenaran  yang  sama,  ada  nilai  T  dan  F,  keduanya  baru

dikatakan  ekuivalen  secara  logis  jika  dihubungkan  dengan  perangkai

ekuivalensi dan akhirnya menghasilkan tautologi.

3. Tambahkan perangkai biimplikasi untuk menghasilkan tautologi

¬ ¬¬ ¬A∨ ∨∨ ∨¬ ¬¬ ¬B  ¬ ¬¬ ¬(A∧ ∧∧ ∧B)  ¬ ¬¬ ¬A∨ ∨∨ ∨¬ ¬¬ ¬B ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ¬ ¬¬ ¬(A∧ ∧∧ ∧B)

F  F  T

T  T  T

T  T  T

T  T  T

Jika hasilnya adalah  tautologi (bernilai T semua), maka dikatakan bahwa

kedua argumen tersebut ekuivalen secara logis.

1.5.1 HUKUM-HUKUM EKUIVALENSI LOGIKA

Identitas              p∧1 ≡ p        p∨0 ≡ p

Ikatan                  p∨1 ≡ T  p∧0 ≡ 0  

Idempoten           p∨p ≡ p  p∧p ≡ p

Negasi                 p∨¬p ≡ 1  p∧¬p ≡ 0

Negasi Ganda     ¬¬p ≡ p  

Komutatif            p∨q ≡ q∨p       p∧q ≡ q∧p

Asosiatif              (p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r)  (p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r)

Distributif           p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r)  p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)

De Morgan’s       ¬(p∧q) ≡ ¬p ∨ ¬q  ¬(p∨q) ≡ ¬p ∧ ¬q

Aborbsi               p∧(p∨q) ≡ p  p∨(p∧q) ≡ p

Selain  dengan  menggunkan  tabel  kebenaran,  menentukan  dua  buah

argumen adalah ekuivalen secara logis dapat  juga menggunakan hukum-

hukum ekuivalensi logika. Cara ini lebih singkat 

Contoh 1.11 :

1.  Buktikan  ekuivalensi  kalimat  di  bawah  ini  dengan  hukum-hukum

ekuivalensi.

¬(p∨¬q) ∨ (¬p∧¬q) ≡ ¬p

Penyelesaian

¬(p∨¬q) ∨ (¬p∧¬q) ≡ (¬p∧¬(¬q)) ∨ (¬p∧¬q)

           ≡ (¬p∧q) ∨ (¬p∧¬q)

           ≡ ¬p ∧ (q∨¬q)

           ≡ ¬p ∧ T

           ≡ ¬p     Terbukti

Dalam  membuktikan  ekuivalensi  p≡q  ada  3  macam  cara  yang  bisa

dilakukan :

1.  P diturunkan  terus menerus (dengan menggunakan hukum-hukum

ekuivalensi logika yang ada).

2.  Q diturunkan terus-menerus (dengan menggunakan hukum-hukum

ekuivalensi logika yang ada), sehingga didapat P.

3.  P dan Q diturunkan secara terpisah sehingga akhirnya didapat R

Sebagai  aturan  kasar,  biasanya  bentuk  yang  lebih  kompleks  yang

diturunkan ke dalam bentuk yang sederhana. Jadi jika p kompleks amaka

aturan  (1) yang dilakukan. Sebaliknya  jika q yang  lebih  kompleks maka

aturan (2) yang dilakukan. Aturan (3) digunakan jika p dan q sama-sama

kompleks.

PENYEDERHANAAN LOGIKA

Operasi  penyederhanaan menggunakan  hukum-hukum  ekuivalensi  logis.

Selanjutnya  perhatikan  operasi  penyederhanaan  berikut  dengan  hukum

yang digunakan tertulis di sisi kanannya. Penyederhanaan ekspresi logika

atau  bentuk-bentuk  logika  ini  dibuat  sesederhana  mungkin  dan  sudah

tidak dimungkinkan dimanipulasi lagi.

Contoh 1.12 :

1.  ¬p ⇒ ¬(p ⇒ ¬q)

≡ ¬p ⇒ ¬(¬ ¬¬ ¬p ∨ ∨∨ ∨ ¬ ¬¬ ¬q)      ingat p⇒q ≡ ¬p∨q

≡ ¬ ¬¬ ¬(¬ ¬¬ ¬p) ∨ ¬(¬p ∨ ¬q)      ingat p⇒q ≡ ¬p∨q  

≡ p ∨ (p ∧ q)        Hk. Negasi ganda dan De Morgan

≡ (p∨p) ∧ (p∨q)        Hk. Distributif

≡ p∧(p∨q)         Hk. Idempoten p∨p ≡ p

≡ p           Hk. Absorbsi

2.  p∨(p∧q)

≡ (p∧ ∧∧ ∧1) ∨(p∧q)        Hk.Identitas

≡ p∧(1∨q)         Hk.Distributif

≡ p∧1          Hk.Identitas ∨

≡ p           Hk.Identitas ∧

3.  (p⇒q) ∧ (q⇒p)

≡ (¬p∨q) ∧ (¬q∨p)      ingat p⇒q ≡ ¬p∨q

≡ (¬p∨q) ∧ (p∨¬q)      Hk. Komutatif

≡ [(¬p∨q)  ∧p] ∨ [(¬p∨q)∧¬q]    Hk. Distributif

≡ [(p∧¬p)∨(p∧q)] ∨ [(¬p∧¬q)∨(q∧¬q)]  Hk. Distributif

≡ [0∨(p∧q)] ∨ [(¬p∧¬q)∨0]    Hk. Kontradiksi

≡ (p∧q)∨(¬p∧¬q)      Hk. Identitas

Operasi  penyederhanaan  dengan  menggunakan  hukum-hukum  logika

dapat  digunakan  untuk  membuktikan  suatu  ekspresi  logika  Tautologi,

Kontradiksi, maupun Contingent. Jika hasil akhir penyederhanaan ekspresi

logika  adalah  1,  maka  ekspresi  logika  tersebut  adalah  tautologi.  Jika

hasil  yang  diperoleh  adalah  0,  berarti  ekspresi  logika  tersebut

kontradiksi.  Jika hasilnya tidak 0 ataupun 1, maka ekspresi  logikanya

adalah contingent. 

Contoh 1.13 :

1.  [(p⇒q)∧p]⇒q

≡ [(¬p∨q)∧p] ⇒ q      ingat p⇒q ≡ ¬p∨q

≡ ¬[(¬p∨q)∧p] ∨ q      ingat p⇒q ≡ ¬p∨q

≡ [(p∧¬q)∨¬p] ∨ q      Hk. Negasi ganda dan De Morgan

≡ [(p∨¬p)∧(¬q∨¬p)] ∨ q    Hk. Distributif

≡ [1∧(¬p∨¬q)] ∨ q      Hk. Idempoten dan komutatif

≡ (¬p∨¬q)∨q        Hk. Identitas

≡ ¬p∨(¬q∨q)        Hk. Assosiatif

≡ ¬p∨1          Hk. Idempoten

≡ 1           Hk. Identitas

Karena hasil akhirnya 1, maka ekspresi logika diatas adalah tautologi.

2.  (p∨q) ∧ [(¬p) ∧ (¬q)]

≡ (p∨q)∧(¬p∧¬q)          

≡ [(p∨q)∧¬p]∧[(p∨q)∧¬q]      Hk. Distributif

≡ [(p∧¬p)∨(q∧¬p)]∧[(p∧¬q)∨(q∧¬q)]  Hk. Distributif

≡ [0∨(q∧¬p)]∧[(p∧¬q)∨0]      Hk. Negasi

≡ (¬p∧q)∧(p∧¬q)        Hk. Idempoten

≡ (¬p∧p)∧(q∧¬q)        Hk. Assosiatif

≡ 0∧0            Hk. Negasi

≡ 0             Hk. Idempoten

Hasil akhir 0, maka ekspresi logika diatas adalah kontradiksi.

3.  [(p∨q)∧¬p] ⇒ ¬q   LOGIKA

18 | i m a n s o f y a n i 

≡ [(p∧¬p)∨(q∧¬p)] ⇒ ¬q      Hk. Distributif

≡ [0 ∨ (q∧¬p)] ⇒ ¬q        Hk. Negasi

≡ (q∧¬p) ⇒ ¬q          Hk. Identitas

≡ ¬(q∧¬p) ∨ ¬q          ingat p⇒q ≡ ¬p∨q

≡ (¬q∨p) ∨ ¬q          Hk. De Morgan

≡ (¬q∨¬q)∨p          Hk. Assosiatif

≡ ¬q∨p            Hk. Idempoten

Hasilnya bukan 0 atau 1,  ekspresi logika di atas adalah contingent.

    

1.5  INFERENSI LOGIKA

1.5.1 ARGUMEN VALID DAN INVALID

Argumen adalah suatu pernyataan tegas yang diberikan oleh sekumpulan

proposisi  P1,    P2,  .........,Pn  yang  disebut  premis  (hipotesa/asumsi)  dan

menghasilkan proposisi Q yang lain yang disebut konklusi (kesimpulan).

Secara umum di notasikan dengan 

  P1,P2, ..........,Pn ├Q       atau dapat juga ditulis 

Nilai kebenaran suatu argumen ditentukan sebagai berikut :

“ Suatu argumen P1,P2,…………,,Pn ├ Q dikatakan benar (valid)  jika Q bernilai

benar  untuk  semua  premis  yang  benar  dan  argumen  dalam  keadaan

selain itu dikatakan salah (invalid/fallacy)”.

Dengan  kata  lain,  suatu  argumen  dikatakan  valid  apabila  untuk

sembarang pernyataan yang disubtitusikan ke dalam premis,  jika  semua

premis benar maka konklusinya juga benar. Sebaliknya jika semua premis

benar  tetapi  konklusinya  ada  yang  salah  maka  argumen  tersebut

dikatakan invalid (fallacy).

Jadi  suatu  argumen  dikatakan  valid    jika  dan  hanya  jika  proposisi

P1∧P2∧........∧Pn) ⇒ Q adalah sebuah Tautologi.

Contoh 1.14 :

1.  Premis 

P1  :  Jika  Office  dan  Delphi  diperlukan  maka  semua  orang  akan   

belajar   komputer

P2 : Office dan Delphi diperlukan

Konklusi 

  Q : Semua orang akan belajar komputer

Jika ditulis dalam bentuk notasi logika

Misal p : Office dan Delphi diperlukan

        q : Semua orang belajar komputer

Maka argumen diatas dapat ditulis :

p⇒q, p ├ q  (valid)

2.  Misal p : Saya suka kalkulus

             q : Saya lulus ujian kalkulus

P1

P2

  

Pn

∴ ∴∴ ∴Q

Premis  Konklusi

Premis

Konklusi  

    Maka argumen p ⇒ q, p ├ q dapat ditulis

    P1 : Jika saya suka kalkulus, maka saya akan lulus ujian kalkulus

    P2 : Saya lulus ujian kalkulus

    ∴ Saya lulus ujian kalkulus (valid)

Untuk mengetahui  suatu  argumen  apakah  valid  atau  tidak maka  dapat

dilakukan langkah-langkah sebagai berikut :

1.  Tentukan premis dan konklusi argumen

2.  Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua premis dan

konklusi.

3.  Carilah baris kritis yatitu baris diman semua premis bernilai benar.

4.  Dalam  baris  kritis  tersebut,  jika  nilai  kesimpulan  semuanya  benar

maka  argumen  tersebut  valid.  Jika  diantara  baris  kritis  tersebut  ada

baris dengan nilai konklusi salah maka argumen tersebut tidak valid.

Contoh 1.15:

Tentukan apakah argumen berikut ini valid atau invalid

a)  p∨(q∨r), ¬r ├ p∨q

b)  p⇒(q∨¬r), q⇒(p∧r) ├p⇒r

Penyelesaian 

a) 

Baris

ke

p  q  r  q∨r  p∨(q∨r)

(Premis)

¬r

(Premis)

p∨q

(konklusi)

1  T  T  T  T  T  F  T

2  T  T  F  T  T  T  T

3  T  F  T  T  T  F  T

4  T  F  F  F  T  T  T

5  F  T  T  T  T  F  T

6  F  T  F  T  T  T  T

7  F  F  T  T  T  F  F

8  F  F  F  F  F  T  F

Dapat dilihat pada tabel diatas bahwa baris 2, 4, dan 6 premisnya bernilai

benar  semua.  Kemudian  lihat  pada  baris  konklusi.  Ternyata  pada  baris

konklusi semuanya bernilai benar. Maka argumen diatas adalah valid.

1.5.2 ATURAN PENARIKAN KESIMPULAN

A.  MODUS PONEN

Modus  ponen  atau  penalaran  langsung  adalh  salah  satu  metode

inferensi  dimana  jika  diketahui  implikasi  ”  Bila  p  maka  q  ”  yang

diasumsikan  bernilai  benar  dan  antasenden  (p)  benar.  Supaya

implikasi p⇒q bernilai benar, maka q juga harus bernilai benar.

Modus Ponen : p⇒q , p ├ q 

atau dapat juga ditulis  

p⇒q

p

――――

∴ q

Contoh 1.16 :

Jika  digit  terakhir  suatu  bilangan  adalah  0,  maka  bilangan  tersebut

habis dibagi 10

Digit terakhir suatu bilangan adalah 0

――――――――――――――――――――――――――――――――――――

∴ Bilangan tersebut habis dibagi 10

     

B. MODUS TOLLENS

Bentuk modus  tollens mirip dengan modus ponen, hanya saja premis

kedua dan kesimpulan merupakan kontraposisi premis pertama modus

ponen.  Hal  ini mengingatkan  bahwa  suatu  implikasi  selalu  ekuivalen

dengan kontraposisinya. 

Modus Tollens : p⇒q, ¬q ├ ¬p

Atau dapat juga ditulis

p⇒q

¬q

――――

∴ ¬p

Contoh 1.17:

Jika  digit  terakhir  suatu  bilangan  adalah  0,  maka  bilangan  tersebut

habis dibagi 10

Suatu bilangan tidak habis dibagi 10

――――――――――――――――――――――――――――――――――――

∴ Digit terakhir bilangan tersebut bukan 0

C.  PENAMBAHAN DISJUNGTIF (ADDITION)

Inferensi  penambahan  disjungtif  didasarkan  atas  fakta  bahwa  suatu

kalimat  dapat  digeneralisasikan  dengan  penghubung  ”∨”.  Alasannya

adalah  karena  penghubung  ”∨”  bernilai  benar  jika  salah  satu

komponennya bernilai benar. 

Misalnya  saya  mengatakan  ”Langit  berwarna  biru”  (bernilai  benar).

Kalimat  tersebut  tetap  akan  bernilai  benar  jika  ditambahkan  kalimat

lain  dengan  penghubung  ”∨”.  Misalnya  ”Langit  berwarna  biru  atau

bebek  adalah  binatang  menyusui”.  Kalimat  tersebut  tetap  bernilai

benar  meskipun  kalimat  ”Bebek  adalah  binatang  menyusui”,

merupakan kalimat yang bernilai salah.

Addition : p ├(p∨q) atau q ├ (p∨q)

Atau dapat ditulis

p              atau   q

――――      ――――

∴ p∨q      ∴ p∨q

Contoh 1.18 :

Simon adalah siswa SMU

――――――――――――――――――――

∴ Simon adalah siswa SMU atau SMP

D. PENYEDERHAAN KONJUNGTIF (SIMPLIFICATION)

Inferensi  ini  merupakan  kebalikan  dari  inferensi  penambahan

disjungtif.  Jika  beberapa  kalimat  dihubungkan    dengan  operator  ”∧”,   LOGIKA

21 | i m a n s o f y a n i 

maka  kalimat  tersebut  dapat  diambil  salah  satunya  secara  khusus

(penyempitan kalimat). 

Simplification : (p∧q) ├p atau (p∧q) ├ q

Atau dapat ditulis

p∧q  atau  p∧q

―――    ―――

∴ p    ∴ q

Contoh 1.19 :

Langit berwarna biru dan bulan berbentuk bulat

―――――――――――――――――――――――――

∴ Langit berwarna biru atau ∴ Bulan berbentuk bulat

E.  SILOGISME DISJUNGTIF

Prinsip  dasar  Silogisme  Disjungtif  (Disjunctive  syllogism)  adalah

kenyataan  bahwa  apabila  kita  dihadapkan  pada  satu  diantara  dua

pilihan  yang  ditawarkan  (A  atau  B).  Sedangkan  kita  tidak

memilih/tidak menyukai A, maka satu-satunua pilihan adalah memilih

B. Begitu juga sebaliknya.

Silogisme Disjungtif : p∨q, ¬p ├q dan p∨q, ¬q ├ p

Atau dapat ditulis

p∨q  atau  p∨q

¬p     ¬q

――――    ――――

∴ q    ∴ p

Contoh 1.20:

Saya pergi ke mars atau ke bulan

Saya tidak pergi ke mars

――――――――――――――――――

∴ Saya pergi ke bulan

F.  SILOGISME HIPOTESIS (TRANSITIVITY)

Prinsip  silogisme  hipotesis  adalah  sifat  transitif  pada  implikasi.  Jika

implikasi  p⇒q  dan  q⇒r  keduanya  bernilai  benar, maka  implikasi  p⇒r

bernilai benar pula.

Transitivity : p⇒q , q⇒r ├ p⇒r

Atau dapat ditulis

p⇒q

q⇒r

―――――

∴ p⇒r

Contoh 1.21:

Jika hari hujan maka tanahnya menjadi berlumpur

Jika tanahnya berlumpur maka sepatu saya akan kotor

―――――――――――――――――――――――――――――

∴ Jika hari hujan maka sepatu saya akan kotor.

G.  KONJUNGSI

Jika  ada  dua  kalimat  yang  masing-masing  benar,  maka  gabungan

kedua  kalimat  tersebut  dengan  menggunakan  penghubung  ”∧”  juga

bernilai benar.

Konjungsi 

p

q

――

∴ p∧q

H. DILEMA

Kadang-kadang, dalam kalimat yang dihubungkan dengan penghubung

”∨”,  masing-masing  kalimat  dapat  mengimplikasikan    sesuatu  yang

sama. Berdasarkan hal itu maka suatu kesimpulan dapat diambil.

Dilema : 

p∨q

p⇒r

q⇒r

―――

∴r