1.1 PENGERTIAN UMUM LOGIKA
Filsafat dan matematika adalah bidang
pengetahuan rasional yang
ada
sejak dahulu. Jauh
sebelum matematika berkembang
seperti
sekarang
ini dan penerapannya menyentuh hampir
seluruh bidang ilmu
pengetahuan modern,
ilmuwan dan filosof yunani telah mengembangkan
dasar pemikiran
ilmu geometri dan logika. Sebut
saja THALES (640-546
SM)
yaitu seorang ilmuwan
geometri yang juga
disebut sebagai bapak
filosofi
dan penalaran deduktif.
Ada juga ahli
matematika dan filosof
PHYTAGORAS
(572-497 SM) dengan
dalil phytagorasnya yang
terkenal
yaitu a2
+b2
=c2
.
MATEMATIKA DAN FILSAFAT
Persamaan filsafat dan matematika
Kerja
Filosof adalah berpikir konsep.
Kerja Matematikawan
adalah memperjelas konsep
yang
dikembangkan oleh filosof.
Perbedaan filsafat dan matematika
Filsafat
bebas menerapkan berbagai metode rasional.
Matematikawan hanya menerapkan metode deduksi.
MATEMATIKA DAN LOGIKA
Menurut BETRAND RUSSEL
matematika adalah ilmu
yang
menyangkut deduksi
logis tentang akibat-akibat dari
pangkal fikir umum
semua penalaran.
Ini
berkaitan dengan konsepsi
matematika sebagai ilmu
formal,
ilmu
tentang bilangan dan
ruang, ilmu tentang
besaran dan keluasan,
ilmu tentang
hubungan, pola bentuk, dan rakitan juga
sebagai ilmu yang
bersifat abstrak dan deduktif.
MAKNA LOGIKA
Berasal
dari bahasa yunani
“LOGOS” yang berarti
kata, ucapan,
atau
alasan. Logika adalah
metode atau teknik
yang diciptakan untuk
meneliti
ketepatan penalaran. Logika mengkaji prinsip-prinsip penalaran
yang benar dan penalaran kesimpulan yang absah. Ilmu
ini pertama kali
dikembangkan
sekitar 300 SM
oleh ARISTOTELES dan
dikenal sebagai
logika
tradisioanal atau logika
klasik. Dua ribu
tahun kemudian
dikembangkan logika modern oleh GEORGE BOOLE dan DE
MORGAN yang
disebut
dengan Logika Simbolik
karena menggunakan simbol-simbol
logika secara intensif.
Dasar
pemikiran logika klasik
adalah logika benar
dan salah yang
disimbolkan
dengan 0 (untuk
logika salah) dan
1 (untuk logika
benar)
yang
disebut juga LOGIKA
BINER. Tetapi pada
kenyataanya dalam
kehidupan
sehari-hari banyak hal
yang kita jumpai
yang tidak bisa
dinyatakan
bahwa sesuatu itu
mutlak benar atau
mutlak salah. Ada
daerah
dimana benar dan
salah tersebut nilainya
tidak bisa ditentukan
mutlak benar atau mutlak salah alias kabur.
Untuk
mengatasi masalah yang
terjadi dalam logika
klasik yang
dikembangkan
oleh ARISTOTELES tersebut,
seorang ilmuwan dari
Universitas
California Berkeley, PROF.
LOTFI A.ZADEH pada
tahun 1965
mengenalkan suatu konsep berpikir logika yang baru
yaitu LOGIKA KABUR
(FUZZY LOGIC).
PADA LOGIKA FUZZY
Nilai kebenarn
bukan bersifat crisp
(tegas) 0 dan
1 saja tetapi
berada diantaranya (multivariabel).
Digunakan untuk merumuskan
pengetahuan dan pengalaman
manusia
yang mengakomodasi ketidakpastian ke
dalam bentuk
matematis tanpa harus mengetahui model
matematikanya.
Pada aplikasinya
dalam bidang komputer,
logika fuzzy
diimplementasikan
untuk memenuhi kebutuhan
manusia akan
sistem
komputer yang dapat
merepresentasikan cara berpikir
manusia.
HUBUNGAN MATEMATIKA DAN LOGIKA
Menurut RUDOLF CARNAP (1931)
Konsep matematika
dapat diturunkan dari
konsep-konsep logika
dengan melalui batasan-batasan yang jelas.
Dalil-dalil matematika dapat
diturunkan dari aksioma-aksioma
logika dengan perantara deduksi logis secara murni.
Menurut BETRAND RUSSEL
Logika adalah
masa muda matematika
dan matematika adalah
masa dewasa logika.
LOGIKA DAN KOMPUTER
Arsitektur
sistem komputer tersusun atas rangkaian logika 1 (true)
dan 0 (false) yang dikombinasikan dengan sejumlah
gerbang logika AND.
OR, NOT, XOR, dan NAND.
Program komputer
berjalan di atas
struktur penalaran yang
baik
dari
suatu solusi terhadap
suatu permasalahan dengan
bantuan
komponen program IF…THEN…ELSE, FOR…TO…DO, WHILE,
CASE…OF.
1.2 LOGIKA
DAN PERNYATAAN
1.2.1 LOGIKA
PENGERTIAN UMUM LOGIKA
Logika adalah metode
atau teknik yang
diciptakan untuk meneliti
ketepatan penalaran serta mengkaji prinsip-prinsip
penalaran yang benar
dan penarikan kesimpulan yang absah.
Ilmu logika
berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen)
dan
hubungan yang ada diantara kalimat-kalimat tersebut. Tujuannya adalah
memberikan
aturan-aturan sehingga orang
dapat menentukan apakah
suatu kalimat bernilai benar.
Kalimat yang
dipelajari dalam logika
bersifat umum, baik
bahasa
sehari-hari
maupun bukti matematika
yang didasarkan atas
hipotesa-
hipotesa.
Oleh karena itu
aturan-aturan yang berlaku
di dalamnya
haruslah
bersifat umum dan
tidak tergantung pada
kalimat atau disiplin .
ilmu
tertentu. Ilmu logika
lebih mengarah dalam bentuk
sintaks-sintaks
daripada arti dari kalimat itu sendiri.
GAMBARAN UMUM LOGIKA
Secara umum
logika dibedakan menjadi dua yaitu Logika Pasti dan
Logika Tidak Pasti. Logika pasti meliputi Logika
Pernyataan (Propotitional
Logic),
Logika Predikat (Predicate
Logic), Logika Hubungan
(Relation
Logic) dan Logika Himpunan. Sedangkan logika tidak
pasti meliputi Logika
Samar atau
kabur (Fuzzy Logic).
Logika
Pernyataan membicarakan tentang
pernyataan tunggal dan
kata hubungnya sehingga didapat kalimat majemuk yang
berupa kalimat
deklaratif.
Logika
Predikat menelaah variabel
dalam suatu kalimat,
kuantifikasi dan validitas sebuah argumen.
Logika Hubungan mempelajari hubungan antara
pernyataan, relasi
simetri, refleksif, antisimtris, dll.
Logika
himpunan membicarakan tentang
unsur-unsur himpunan
dan hukum-hukum yang berlaku di dalamnya.
Logika Samar merupakan pertengahan dari dua nilai
biner yaitu ya-
tidak, nol-satu, benar-salah. Kondisi yang
ditunjukkan oleh logika samar
ini
antara lain :
banyak, sedikit, sekitar
x, sering, umumnya.
Logika
samar
banyak diterapkan dalam
kecerdasan buatan, mesin
pintar atau
sistem
cerdas dan alat-alat
elektronika. Program komputer
dengan
menggunakan logika samar mempunyai kapasitas
penyimpanan lebih kecil
dan lebih cepat bila dibanding dengan logika biner.
ALIRAN DALAM LOGIKA
LOGIKA TRADISIONAL
Pelopornya adalah
Aristoteles (384-322 SM)
Terdiri dari
analitika dan dialektika.
Ilmu analitika yaitu
cara
penalaran yang didasarkan pada pernyataan yang benar
sedangkan
dialektika yaitu cara penalaran yang didasarkan pada
dugaan.
LOGIKA METAFISIS
Dipelopori
oleh F. Hegel (1770-1831 M)
Menurut
Hegel, logika dianggap sebagai metafisika dimana susunan
pikiran dianggap sebagai kenyataan.
LOGIKA EPISTIMOLOGI
Diperkenalkan oleh FH.
Bradley (1846-1924) dan
Bernhard
Bosanquet (1848-1923 M).
Prisip dari
logika epistimologi ini
adalah untuk mencapai
pengetahuan yang memadai, pikiran yang logis dan
perasaan halus
digabungkan.
Selain itu, untuk mencapai kebenaran,
logika harus
dihubungkan dengan seluruh pengetahuan yang lainnya.
LOGIKA INSTRUMENTALIS/FRAGMATIS
Dipelopori
oleh Jhon Dewey (1859-1952)
Prinsipnya adalah logika
merupakan alat atau
instrumen untuk
menyelesaikan masalah.
LOGIKA SIMBOLIS
Logika
simbolis adalah ilmu tentang penyimpulan yang sah (absah)
yang
dikembangkan menggunakan metod
ematematika dan
bantuan
simbol-simbol khusus sehingga
memungkinkan seseorang
menghindari makna ganda dari bahasa sehari-hari.
Pelopornya
adalah Leibniz, De Morgan, dan Boole
Logika ini menggunakan bahasa
simbol untuk mempelajari secara
rinci
bagaimana akal harus
bekerja dan bercirikan
teknis,
matematis,
dan ilmiah. Pemakaian
simbol matematika ini
untuk
mewakili bahsa dalam bentuk pernyataan yang bernilai
benar atau
salah.
Logika simbolis
ini kemudian menjadi
dasar logika matematika
modern yaitu logika formal yang semata-mata menelaah
bentuk da
bukan isi dari apa yang dibicarakan.
1.2.2 PERNYATAAN (PROPOSISI)
Kata
merupakan rangkaian huruf
yang mengandung arti,
sedangkan
kalimat adalah kumpulan
kata yang disusun menurut aturan
tata
bahasa dan mengandung
arti. Di dalam
matematika tidak semua
pernyataan yang bernilai
benar atau salah
saja yang digunakan
dalam
penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang
bersifat menerangkan. Disebut juga proposisi.
Pernyataan/
Kalimat Deklaratif/ Proposisi
adalah kalimat yang bernilai
benar atau salah tetapi tidak keduanya.
Contoh :
1. Yogyakarta
adalah kota pelajar (Benar).
2. 2+2=4 (Benar).
3. Semua
manusia adalah fana (Benar).
4. 4 adalah
bilangan prima (Salah).
5.
5x12=90 (Salah).
Tidak semua kalimat berupa proposisi
Contoh :
1. Dimanakah
letak pulau bali?.
2. Pandaikah
dia?.
3. Andi lebih
tinggi daripada Tina.
4.
3x-2y=5x+4.
5. x+y=2.
1.2.3 PENGHUBUNG KALIMAT DAN TABEL KEBENARAN
Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk
menghasilkan
proposisi
baru lewat penggunaan
operator logika. Proposisi
baru yang
dihasilkan
dari kombinasi tersebut
disebut dengan proposisi
majemuk
(compound
composition), sedangkan proposisi
yang bukan merupakan
hasil
dari kombinasi proposisi
lain disebut proposisi
atomik. Proposisi
majemuk tersusun dari sejumlah proposisi
atomik.
# Dalam
logika dikenal 5 buah penghubung
Simbol
Arti Bentuk
¬
Tidak/Not/Negasi Tidak………….
∧ Dan/And/Konjungsi ……..dan……..
∨ Atau/Or/Disjungsi ………atau…….
⇒ Implikasi
Jika…….maka…….
⇔ Bi-Implikasi
……..bila dan hanya bila……..
Contoh 1.1 :
Misalkan : p menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama
bunga”
Q
menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah”
Maka
kalimat “ Mawar
adalah nama bunga
dan Apel adalah
nama
buah “
Dinyatakan dengan simbol p ∧
∧∧ ∧ q
Contoh 1.2 :
Misalkan p:
hari ini hari minggu
q: hari
ini libur
nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :
a. Hari ini
tidak hari minggu tetapi libur
b. Hari ini
tidak hari minggu dan tidak libur
c. Tidak
benar bahwa hari ini hari minggu dan libur
Penyelesaian
a. Kata “tetapi”
mempunyai arti yang
sama dengan dan
sehingga
kalimat (a) bisa ditulis sebagai : ¬p ∧ ∧∧ ∧ q qq q
b. ¬p ∧ ∧∧ ∧¬q qq q
c. ¬(p ∧ ∧∧ ∧ q qq q) )) )
NEGASI (INGKARAN)
Jika p adalah
“ Semarang ibukota
Jawa Tengah”, maka
ingkaran atau
negasi
dari pernyataan p
tersebut adalah ¬p
yaitu “ Semarang
bukan
ibukota Jawa
Tengah” atau “Tidak benar
bahwa Semarang ibukota Jawa
Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka
ingkaran p (¬p) adalah
bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.
KONJUNGSI
Konjungsi
adalah suatu pernyataan
majemuk yang menggunakan
penghubung “DAN/AND” dengan notasi “∧ ∧∧ ∧”
Contoh 1.3:
p: Fahmi makan nasi
Q:Fahmi minum kopi
Maka p∧q
: Fahmi makan nasi dan minum kopi
Pada
konjungsi p∧q akan
bernilai benar jika
baik p maupun
q bernilai
benar.
Jika salah satunya
(atau keduanya) bernilai
salah maka p∧q
bernilai salah.
DISJUNGSI
Disjungsi
adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung
“ATAU/OR” dengan notasi “∨ ∨∨ ∨”.
Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 arti yaitu :
a. INKLUSIF
OR
Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya true”
Contoh :
p : 7 adalah bilangan prima
q : 7 adalah bilangan ganjil
p ∨
q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil
Benar
bahwa 7 bisa
dikatakan bilangan prima
sekaligus bilangan
ganjil.
b. EKSLUSIF
OR
Yaitu jika “p benar atau q benar tetapi tidak
keduanya”.
Contoh :
p : Saya
akan melihat pertandingan bola di TV.
q : Saya
akan melihat pertandingan bola di lapangan.
p ∨ q : Saya akan melihat
pertandingan bola di TV atau lapangan.
Hanya
salah satu dari
2 kalimat penyusunnya
yang boleh bernilai
benar yaitu jika “Saya akan melihat pertandingan
sepak bola di TV saja
atau di lapangan saja tetapi tidak keduanya.
IMPLIKASI
Misalkan
ada 2 pernyataan
p dan q,
untuk menunjukkan atau
membuktikan
bahwa jika p
bernilai benar akan
menjadikan q bernilai
benar
juga, diletakkan kata
“JIKA” sebelum pernyataan
pertama lalu
diletakkan
kata “MAKA” sebelum
pernyataan kedua sehingga
didapatkan
suatu
pernyataan majemuk yang
disebut dengan
“IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL
dengan notasi “⇒
⇒⇒ ⇒”.
Notasi p⇒q
dapat dibaca :
1. Jika p
maka q
2. q jika p
3. p adalah
syarat cukup untuk q
4. q adalah
syarat perlu untuk p
Contoh 1.4:
1. p : Pak
Ali adalah seorang haji.
q : Pak Ali adalah seorang muslim.
p ⇒
q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang
muslim.
2. p : Hari hujan.
q : Adi membawa payung.
Benar atau salahkah pernyataan berikut?
a. Hari benar-benar
hujan dan Adi
benar-benar membawa
payung.
b. Hari
benar-benar hujan tetapi Adi tidak membawa payung.
c. Hari tidak
hujan tetapi Adi membawa payung.
d. Hari tidak
hujan dan Adi tidak membawa payung.
BIIMPLIKASI
Biimplikasi
atau bikondosional adalah
pernyataan majemuk dari
dua
pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “p ⇔ q” yang bernilai
sama dengan (p ⇒q)
∧ (q ⇒ p) sehingga dapat dibaca “ p jika dan hanya
jika q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi
2 pernytaan hanya akan
bernilai
benar jika implikasi
kedua kalimat penyusunnya
sama-sama
bernilaii benar.
Contoh 1.5 :
p : Dua
garis saling berpotongan adalah tegak lurus.
q : Dua
garis saling membentuk sudut 90 derajat.
p ⇔ q
: Dua garis
saling berpotongan adalah
tegak lurus jika
dan
hanya jika dan hanya jika dua garis saling membentuk
sudut 90 derajat.
TABEL KEBENARAN
p q ¬p
¬q p∨q p∧q p⇒q p⇔q p ⊕
q
T T F
F T T F T T
T F F
T T F
T F F
F T T
F T F T T F
F F T
T F F F T T
Untuk
menghindari perbedaan konotasi
dan keganjilan arti
dalam
menerjemahkan
simbol-simbol logika maka
dalam matematika tidak
disyaratkan
adanya hubungan antara
kedua kalimat penyusunnya.
Kebenaran suatu kalimat berimplikasi semata-mata
hanya tegantung pada
nilai
kebenaran kaliamat penyusunnya.
Karena itu digunakan
tabel
kebenaran
penghubung. Jika p
dan q adalah
kalimat-kalimat dimana
T=true/benar
dan F=false/salah, maka
untuk n variable
(p,q,…) maka
tabel kebenaran memuat 2n baris.
1.2.4
INGKARAN (NEGASI) SUATU PENYATAAN
NEGASI SUATU KONJUNGSI
Contoh : Fahmi makan nasi dan minum kopi
Suatu
konjumgsi akan bernilai
benar jika kedua
kalimat
penyusunnya
yaitu p dan
q bernilai benar,
sedangkan negasi adalah
pernyataan
yang bernilai salah
jika pernyataan awalnya
bernilai benar
dan bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai
salah.
Oleh
karena itu negasi dari : “Fahmi makan
nasi dan minum kopi”
adalah
suatu pernyataan majemuk
lain yang salah
satu komponennya
merupakan
negasi dari komponen
pernyataan awalnya. Jadi
negasinya
adalah: “Fahmi tidak makan nasi atau tidak minum
kopi”.
Disini berlaku hukum De Morgan yaitu : ¬(p∧q) ekuivalen dengan ¬p∨¬q
NEGASI SUATU DISJUNGSI
Contoh : “Fahmi makan nasi atau minum kopi”
Suatu
disjungsi akan bernilai
salah hanya jika
kedua komponen
penyusunnya bernilai salah., selain itu benar. Oleh karena itu negasi dari
kalimat
diatas adalah :
“ Tidak benar
bahwa Fahmi makan nasi
atau
minum
kopi” atau dapat
juga dikatakan “Fahmi
tidak makan nasi
dan
tidak
minum kopi. Disini
berlaku hukum De
Morgan yaitu : ¬ ¬¬
¬(p∨ ∨∨ ∨q) ≡ ≡≡ ≡
¬ ¬¬ ¬p∧
∧∧ ∧¬ ¬¬ ¬q
NEGASI SUATU IMPLIKASI
Contoh 1.6 : “Jika hari hujan maka Adi membawa
payung”.
Untuk memperoleh
negasi dari pernyataan
diatas, kita dapat
mengubah
bentuknya ke dalam
bentuk disjungsi kemudian
dinegasikan,
yaitu :
p⇒
⇒⇒ ⇒ q ≡ ≡≡ ≡ ¬ ¬¬ ¬p∨ ∨∨ ∨q
Maka negasinya
¬ ¬¬ ¬( p⇒
⇒⇒ ⇒ q) ≡ ≡≡ ≡ ¬ ¬¬ ¬(¬ ¬¬
¬p∨ ∨∨ ∨q) ≡ ≡≡ ≡ p∧ ∧∧ ∧¬ ¬¬ ¬q
NEGASI SUATU BIIMPLIKASI
Biimplikasi atau bikondisional
adalah pernyataan majemuk
dari dua pernyataaan p dan q yang dinotasikan dengan
p ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ q ≡ ≡≡ ≡ (p ⇒ ⇒⇒ ⇒ q) ∧ ∧∧ ∧
(q ⇒
⇒⇒ ⇒ p) sehingga : ¬(p ⇔ q) ≡ ¬ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]
≡ ¬ [(¬p∨q ) ∧ (¬q∨p)]
≡ ¬ (¬p∨q ) ∨ ¬(¬q∨p)
¬ ¬¬ ¬(p ⇔
⇔ ⇔ ⇔ q) ≡ ≡≡ ≡ (p∧ ∧∧ ∧¬ ¬¬ ¬q ) ∨ ∨∨ ∨ (q∧ ∧∧ ∧¬ ¬¬ ¬p)
1.3
TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, DAN CONTINGENT
Tautologi
adalah suatu bentuk
kalimat yang selalu
bernilai benar
(True) tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran
masing-masing kalimat
penyusunnya,
sebaliknya kontradiksi adalah
suatu bentuk kalimat
yang
selalu
bernilai salah (False),
tidak peduli bagaimanapun
nilai kebenaran
masing-masing kalimat penyusunnya.
Dalam
tabel kebenaran, suatu
tautologi selalu bernilai
True pada
semua
barisnya dan kontradiksi
selalu bernilai False
pada semua baris.
Kalau
suatu kalimat tautologi
diturunkan lewat hukum-hukum
yang ada
maka pada akhirnya akan menghasilkan True,
sebaliknya kontradiksi akan
selalu bernilai False.
Jika pada
semua nilai kebenaran menghasilkan nilai F dan T, maka
disebut formula campuran (contingent).
Contoh 1.7 :
1. Tunjukkan
bahwa p∨ ∨∨ ∨(¬ ¬¬ ¬p) adalah
tautologi!
p ¬p p∨(¬p)
T T T
T F T
F T T
F F T
2. Tunjukkan
bahwa (p∨ ∨∨ ∨q) ∨ ∨∨ ∨ [(¬ ¬¬ ¬p) ∧ ∧∧ ∧ (¬ ¬¬ ¬q)] adalah
tautologi!
p q ¬p
¬q p∨q ¬p ∧
¬q (p∨q)
∨ [(¬p) ∧ (¬q)]
T T F
F T F T
T F F
T T F T
F T T
F T F T
F F T
T F T T
3. Tunjukkan
bahwa (p∨ ∨∨ ∨q) ∧ ∧∧ ∧ [(¬ ¬¬ ¬p) ∧ ∧∧ ∧ (¬ ¬¬ ¬q)] adalah
kontradiksi!
p q ¬p
¬q p∨q ¬p ∧
¬q (p∨q)
∧ [(¬p) ∧ (¬q)]
T T F
F T F F
T F F
T T F F
F T T
F T F F
F F T
T F T F
4. Tunjukkan bahwa [(p∧ ∧∧
∧q) ⇒ ⇒⇒ ⇒ r] ⇒ ⇒⇒ ⇒ p adalah contingent!
p q r p∧q (p∧q)
⇒ r [(p∧q)
⇒ r] ⇒ p
T T T
T T T
T T F
T T T
T F T
F F T
T F F
F F T
F T T
F T F
F T F
F T F
F F T
F T F
F F F
F T F
1.4 KONVERS,
INVERS, DAN KONTRAPOSISI
Perhatikan pernytaan di bawah ini! ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔
“Jika
suatu bender adalah
bendera RI maka
ada warna merah
pada
bendera tersebut”
Bentuk umum implikasi di atas adalah “p ⇒ ⇒⇒ ⇒ q” dengan
p : Bendera RI
q : Bendera yang ada warna merahnya.
Dari implikasi diatas dapat dibentuk tiga implikasi
lainnya yaitu :
1. KONVERS,
yaitu q ⇒ ⇒⇒ ⇒ p
Sehingga implikasi diatas menjadi :
“ Jika suatu
bendera ada warna
merahnya, maka bendera
tersebut
adalah bendera RI”.
2. INVERS,
yaitu ¬ ¬¬ ¬p ⇒
⇒⇒ ⇒ ¬ ¬¬ ¬q
Sehingga implikasi diatas menjadi :
“ Jika suatu bendera bukan bendera RI, maka pada
bendera tersebut
tidak ada warna merahnya”.
3.
KONTRAPOSISI, yaitu ¬ ¬¬ ¬q ⇒
⇒⇒ ⇒ ¬ ¬¬ ¬p
Sehingga implikasi di atas menjadi :
“ Jika suatu
bendera tidak ada
warna merahnya, maka
bendera
tersebut bukan bendera RI”.
Suatu
hal yang penting
dalam logika adalah
kenyataan bahwa suatu
implikasi
selalu ekuivalen dengan
kontraposisinya, akan tetapi
tidak
demikian halnya dengan invers dan konversnya.
Hal ini dapat dilihat dari tabel kebenaran berikut
p q ¬p
¬q p⇒q q ⇒
p ¬p ⇒
¬q ¬q ⇒ ¬p
T T F
F T T T T
T F F
T F T
T F
F T T
F T F F T
F F T
T T T T T
INGKARAN KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
Contoh 1.8:
Tentukan
ingkaran atau negasi
konvers, invers, dan
kontraposisi dari
implikasi berikut.
“Jika suatu bendera adalah bendera RI maka
bendera tersebut berwarna
merah dan putih”
Penyelesaian
Misal p : Suatu bendera adalah bendera RI
q :
Bendera tersebut berwarna merah dan putih
maka
kalimatnya menjadi p ⇒ q
atau jika menggunakan operator
dan
maka p ⇒
q ekuivalen(sebanding/≈) dengan ¬p ∨ q. Sehingga
1. Negasi
dari implikasi
Implikasi :
(p⇒q) ≈ ¬p ∨ q
Negasinya :
¬(¬p∨q) ≈ p∧¬q
Kalimatnya
:“Suatu bendera adalah
bendera RI dan
bendera
tersebut tidak berwarna merah dan putih”. LOGIKA
14 | i m a n s o f y a n i
2. Negasi
dari konvers
Konvers :
q⇒p ≈ ¬q∨p
Negasinya :
¬(¬q∨p) ≈ q∧¬p
Kalimatnya
: “Ada/Terdapat bendera
berwarna merah dan
putih
tetapi bendera tersebut bukan bendera RI”.
3. Negasi
dari invers
Invers : ¬p
⇒ ¬q ≈ ¬(¬p)∨¬q) ≈ p∧¬q
Negasinya :
¬(p∧¬q) ≈ ¬p∨q
Kalimatnya
: “Suatu bendera
bukan bendera RI
atau bendera
tersebut berwarna merah dan putih”.
4. Negasi
dari kontraposisi
Kontraposisi
: ¬q ⇒
¬p ≈ ¬(¬q)∨¬p
≈ q∨¬p
Negasinya :
¬(q∨¬p) ≈ ¬q∧p
Kalimatnya :
“ Suatu bendera tidak berwarna merah dan putih dan
bendera tersebut adalah bendera RI”.
1.5 EKUIVALENSI LOGIKA
Pada tautologi,
dan juga kontradiksi,
dapat dipastikan bahwa
jika
dua buah ekspresi
logika adalah tautologi,
maka kedua buah
ekspresi
logika
tersebut ekuivalen secara
logis, demikian pula
jika keduanya
kontradiksi.
Persoalannya ada pada
contingent, karena memiliki
semua
nilai T dan
F. Tetapi jika
urutan T dan
F atau sebaliknya
pada tabel
kebenaran
tetap pada urutan
yang sama maka tetap
disebut ekuivalen
secara logis. Perhatikan pernyataan berikut :
Contoh 1.9 :
1. Dewi sangat cantik dan peramah.
2. Dewi peramah dan sanagt cantik.
Kedua
pernyataan di atas,
tanpa dipikir panjang,
akan dikatakan
ekuivalen
atau sama saja.
Dalam bentuk ekspresi
logika dapat ditulis
sebagai berikut :
A = Dewi sangat cantik.
B = Dewi peramah.
Maka ekspresi logikanya :
1. A ∧
B
2. B ∧
A
Jika dikatakan kedua buah ekspresi logika tersebut
ekuivalen secara logis
maka
dapat ditulis A ∧
B ≡ B
∧ A. Ekuivalensi
logis dari kedua
ekspresi
logika
tersebut dapat dibuktikan dengan
tabel kebenaran sebagai berikut
ini :
A B A∧B B∧A
T T T T
T F F F
F T F F
F F F F
Pembuktian
dengan tabel kebenaran
diatas, walaupun setiap
ekspresi
logika memiliki
nilai T dan
F, tetapi karena memiliki urutan
yang sama,
maka
secara logis tetap dikatakan ekuivalen. Tetapi jika urutan
T dan F
tidak
sama, maka tidak
biasa dikatakan ekuivalen
secara logis. Tabel
kebenaran
merupakan alat untuk
membuktikan kebenaran ekuivalensi
secara logis.
Kesimpulan diambil berdasarkan
hasil dari tabel kebenaran
tersebut. Lihat pernyataan berikut ini :
Contoh 1.10 :
1. Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur.
2. Adalah tidak benar jika Badu pandai dan jujur.
Secara intuitif dapat ditebak bahwa kedua pernyataan
di atas sebenarnya
sama,
tetapi bagaimana jika
idbuktikan dengan menggunkan
tabel
kebenaran berdasarkan ekspresi logika. Adapaun
langkah-langkahnya :
1. Ubah dahulu argumen di atas ke dalam bentuk
ekspresi/notasi logika.
Misal :
A=Badu pandai
B=Badu
jujur
Maka
kalimatnya menjadi
1. ¬A∨¬B
2. ¬(A∧B)
2. Buat tabel kebenarannya
A B ¬ ¬¬ ¬A
¬ ¬¬ ¬B A∧ ∧∧ ∧B ¬ ¬¬ ¬A∨
∨∨ ∨¬ ¬¬ ¬B ¬ ¬¬ ¬(A∧
∧∧ ∧B)
T T F
F T F F
T F F
T F T T
F T T
F F T T
F F T
T F T T
Perhatikan
ekspresi di atas!
Meskipun kedua ekspresi
logika di atas
memiliki
nilai kebenaran yang
sama, ada nilai
T dan F,
keduanya baru
dikatakan
ekuivalen secara logis
jika dihubungkan dengan
perangkai
ekuivalensi dan akhirnya menghasilkan tautologi.
3. Tambahkan perangkai biimplikasi untuk
menghasilkan tautologi
¬ ¬¬ ¬A∨
∨∨ ∨¬ ¬¬ ¬B ¬ ¬¬ ¬(A∧
∧∧ ∧B) ¬ ¬¬ ¬A∨
∨∨ ∨¬ ¬¬ ¬B ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ¬ ¬¬ ¬(A∧ ∧∧ ∧B)
F F T
T T T
T T T
T T T
Jika hasilnya adalah
tautologi (bernilai T semua), maka dikatakan bahwa
kedua argumen tersebut ekuivalen secara logis.
1.5.1 HUKUM-HUKUM EKUIVALENSI LOGIKA
Identitas p∧1
≡ p p∨0 ≡ p
Ikatan p∨1
≡ T p∧0
≡ 0
Idempoten p∨p
≡ p p∧p
≡ p
Negasi p∨¬p ≡ 1
p∧¬p ≡ 0
Negasi Ganda ¬¬p ≡ p
Komutatif p∨q
≡ q∨p p∧q
≡ q∧p
Asosiatif (p∨q)∨r
≡ p∨(q∨r) (p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r)
Distributif p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r) p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)
De Morgan’s ¬(p∧q)
≡ ¬p ∨ ¬q ¬(p∨q)
≡ ¬p ∧ ¬q
Aborbsi p∧(p∨q)
≡ p p∨(p∧q) ≡ p
Selain
dengan menggunkan tabel
kebenaran, menentukan dua
buah
argumen adalah ekuivalen secara logis dapat juga menggunakan hukum-
hukum ekuivalensi logika. Cara ini lebih
singkat
Contoh 1.11 :
1.
Buktikan ekuivalensi kalimat
di bawah ini
dengan hukum-hukum
ekuivalensi.
¬(p∨¬q)
∨ (¬p∧¬q) ≡ ¬p
Penyelesaian
¬(p∨¬q)
∨ (¬p∧¬q) ≡ (¬p∧¬(¬q)) ∨ (¬p∧¬q)
≡
(¬p∧q) ∨ (¬p∧¬q)
≡
¬p ∧ (q∨¬q)
≡
¬p ∧ T
≡
¬p Terbukti
Dalam
membuktikan ekuivalensi p≡q
ada 3 macam cara
yang bisa
dilakukan :
1. P
diturunkan terus menerus (dengan
menggunakan hukum-hukum
ekuivalensi logika yang ada).
2. Q
diturunkan terus-menerus (dengan menggunakan hukum-hukum
ekuivalensi logika yang ada), sehingga didapat P.
3. P dan Q
diturunkan secara terpisah sehingga akhirnya didapat R
Sebagai
aturan kasar, biasanya
bentuk yang lebih
kompleks yang
diturunkan ke dalam bentuk yang sederhana. Jadi jika
p kompleks amaka
aturan (1)
yang dilakukan. Sebaliknya jika q
yang lebih kompleks maka
aturan (2) yang dilakukan. Aturan (3) digunakan jika
p dan q sama-sama
kompleks.
PENYEDERHANAAN LOGIKA
Operasi
penyederhanaan menggunakan
hukum-hukum ekuivalensi logis.
Selanjutnya
perhatikan operasi penyederhanaan berikut
dengan hukum
yang digunakan tertulis di sisi kanannya.
Penyederhanaan ekspresi logika
atau
bentuk-bentuk logika ini
dibuat sesederhana mungkin
dan sudah
tidak dimungkinkan dimanipulasi lagi.
Contoh 1.12 :
1. ¬p ⇒ ¬(p ⇒ ¬q)
≡ ¬p ⇒
¬(¬ ¬¬ ¬p ∨
∨∨ ∨ ¬ ¬¬ ¬q) ingat p⇒q ≡ ¬p∨q
≡ ¬ ¬¬ ¬(¬ ¬¬ ¬p) ∨ ¬(¬p ∨ ¬q)
ingat p⇒q
≡ ¬p∨q
≡ p ∨
(p ∧ q) Hk. Negasi ganda dan De Morgan
≡ (p∨p)
∧ (p∨q) Hk. Distributif
≡ p∧(p∨q) Hk. Idempoten p∨p ≡ p
≡ p
Hk. Absorbsi
2. p∨(p∧q)
≡ (p∧
∧∧ ∧1) ∨(p∧q) Hk.Identitas
≡ p∧(1∨q) Hk.Distributif
≡ p∧1 Hk.Identitas ∨
≡ p
Hk.Identitas ∧
3. (p⇒q) ∧ (q⇒p)
≡ (¬p∨q)
∧ (¬q∨p) ingat p⇒q ≡ ¬p∨q
≡ (¬p∨q)
∧ (p∨¬q) Hk. Komutatif
≡ [(¬p∨q) ∧p]
∨ [(¬p∨q)∧¬q] Hk. Distributif
≡ [(p∧¬p)∨(p∧q)] ∨ [(¬p∧¬q)∨(q∧¬q)] Hk. Distributif
≡ [0∨(p∧q)] ∨ [(¬p∧¬q)∨0] Hk. Kontradiksi
≡ (p∧q)∨(¬p∧¬q) Hk. Identitas
Operasi
penyederhanaan dengan menggunakan
hukum-hukum logika
dapat
digunakan untuk membuktikan
suatu ekspresi logika
Tautologi,
Kontradiksi, maupun Contingent. Jika hasil akhir
penyederhanaan ekspresi
logika
adalah 1, maka
ekspresi logika tersebut
adalah tautologi. Jika
hasil
yang diperoleh adalah
0, berarti ekspresi
logika tersebut
kontradiksi.
Jika hasilnya tidak 0 ataupun 1, maka ekspresi logikanya
adalah contingent.
Contoh 1.13 :
1. [(p⇒q)∧p]⇒q
≡ [(¬p∨q)∧p] ⇒ q ingat p⇒q ≡ ¬p∨q
≡ ¬[(¬p∨q)∧p] ∨ q ingat p⇒q ≡ ¬p∨q
≡ [(p∧¬q)∨¬p] ∨ q Hk. Negasi ganda dan De Morgan
≡ [(p∨¬p)∧(¬q∨¬p)] ∨ q Hk. Distributif
≡ [1∧(¬p∨¬q)] ∨ q Hk. Idempoten dan komutatif
≡ (¬p∨¬q)∨q Hk. Identitas
≡ ¬p∨(¬q∨q) Hk. Assosiatif
≡ ¬p∨1 Hk. Idempoten
≡ 1
Hk. Identitas
Karena hasil akhirnya 1, maka ekspresi logika diatas
adalah tautologi.
2. (p∨q) ∧ [(¬p) ∧ (¬q)]
≡ (p∨q)∧(¬p∧¬q)
≡ [(p∨q)∧¬p]∧[(p∨q)∧¬q] Hk. Distributif
≡ [(p∧¬p)∨(q∧¬p)]∧[(p∧¬q)∨(q∧¬q)] Hk. Distributif
≡ [0∨(q∧¬p)]∧[(p∧¬q)∨0] Hk. Negasi
≡ (¬p∧q)∧(p∧¬q) Hk. Idempoten
≡ (¬p∧p)∧(q∧¬q) Hk. Assosiatif
≡ 0∧0 Hk. Negasi
≡ 0 Hk. Idempoten
Hasil akhir 0, maka ekspresi logika diatas adalah
kontradiksi.
3. [(p∨q)∧¬p]
⇒
¬q LOGIKA
18 | i m a n s o f y a n i
≡ [(p∧¬p)∨(q∧¬p)]
⇒
¬q Hk. Distributif
≡ [0 ∨ (q∧¬p)]
⇒
¬q Hk. Negasi
≡ (q∧¬p) ⇒
¬q Hk. Identitas
≡ ¬(q∧¬p) ∨
¬q ingat p⇒q
≡ ¬p∨q
≡ (¬q∨p) ∨
¬q Hk. De Morgan
≡ (¬q∨¬q)∨p Hk. Assosiatif
≡ ¬q∨p
Hk. Idempoten
Hasilnya bukan 0 atau 1, ekspresi logika di atas adalah contingent.
1.5 INFERENSI
LOGIKA
1.5.1 ARGUMEN VALID DAN INVALID
Argumen adalah suatu pernyataan tegas yang diberikan
oleh sekumpulan
proposisi
P1, P2, .........,Pn
yang disebut premis
(hipotesa/asumsi) dan
menghasilkan proposisi Q yang lain yang disebut
konklusi (kesimpulan).
Secara umum di notasikan dengan
P1,P2,
..........,Pn ├Q atau dapat juga
ditulis
Nilai kebenaran suatu argumen ditentukan sebagai
berikut :
“ Suatu argumen P1,P2,…………,,Pn ├ Q dikatakan benar
(valid) jika Q bernilai
benar
untuk semua premis
yang benar dan
argumen dalam keadaan
selain itu dikatakan salah (invalid/fallacy)”.
Dengan
kata lain, suatu
argumen dikatakan valid
apabila untuk
sembarang pernyataan yang disubtitusikan ke dalam
premis, jika semua
premis benar maka konklusinya juga benar. Sebaliknya
jika semua premis
benar
tetapi konklusinya ada
yang salah maka
argumen tersebut
dikatakan invalid (fallacy).
Jadi
suatu argumen dikatakan
valid jika dan
hanya jika proposisi
P1∧P2∧........∧Pn) ⇒ Q adalah sebuah Tautologi.
Contoh 1.14 :
1.
Premis
P1 : Jika
Office dan Delphi
diperlukan maka semua
orang akan
belajar
komputer
P2 : Office dan Delphi diperlukan
Konklusi
Q : Semua
orang akan belajar komputer
Jika ditulis dalam bentuk notasi logika
Misal p : Office dan Delphi diperlukan
q :
Semua orang belajar komputer
Maka argumen diatas dapat ditulis :
p⇒q, p ├ q
(valid)
2. Misal p :
Saya suka kalkulus
q
: Saya lulus ujian kalkulus
P1
P2
Pn
∴ ∴∴ ∴Q
Premis
Konklusi
Premis
Konklusi
Maka
argumen p ⇒ q, p ├ q dapat ditulis
P1 : Jika
saya suka kalkulus, maka saya akan lulus ujian kalkulus
P2 : Saya
lulus ujian kalkulus
∴ Saya
lulus ujian kalkulus (valid)
Untuk mengetahui
suatu argumen apakah
valid atau tidak maka
dapat
dilakukan langkah-langkah sebagai berikut :
1. Tentukan
premis dan konklusi argumen
2. Buat tabel
yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua premis dan
konklusi.
3. Carilah
baris kritis yatitu baris diman semua premis bernilai benar.
4. Dalam baris
kritis tersebut, jika
nilai kesimpulan semuanya
benar
maka
argumen tersebut valid.
Jika diantara baris
kritis tersebut ada
baris dengan nilai konklusi salah maka argumen
tersebut tidak valid.
Contoh 1.15:
Tentukan apakah argumen berikut ini valid atau
invalid
a) p∨(q∨r),
¬r ├ p∨q
b) p⇒(q∨¬r),
q⇒(p∧r) ├p⇒r
Penyelesaian
a)
Baris
ke
p q r
q∨r p∨(q∨r)
(Premis)
¬r
(Premis)
p∨q
(konklusi)
1 T T
T T T F T
2 T T
F T T T T
3 T F
T T T F T
4 T F
F F T T T
5 F T
T T T F T
6 F T
F T T T T
7 F F
T T T F F
8 F F
F F F T F
Dapat dilihat pada tabel diatas bahwa baris 2, 4,
dan 6 premisnya bernilai
benar
semua. Kemudian lihat
pada baris konklusi.
Ternyata pada baris
konklusi semuanya bernilai benar. Maka argumen
diatas adalah valid.
1.5.2 ATURAN PENARIKAN KESIMPULAN
A. MODUS
PONEN
Modus
ponen atau penalaran
langsung adalh salah
satu metode
inferensi
dimana jika diketahui
implikasi ” Bila
p maka q
” yang
diasumsikan
bernilai benar dan
antasenden (p) benar.
Supaya
implikasi p⇒q bernilai benar, maka q juga harus
bernilai benar.
Modus Ponen : p⇒q , p ├ q
atau dapat juga ditulis
p⇒q
p
――――
∴ q
Contoh 1.16 :
Jika
digit terakhir suatu
bilangan adalah 0,
maka bilangan tersebut
habis dibagi 10
Digit terakhir suatu bilangan adalah 0
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
∴ Bilangan tersebut habis dibagi 10
B. MODUS TOLLENS
Bentuk modus
tollens mirip dengan modus ponen, hanya saja premis
kedua dan kesimpulan merupakan kontraposisi premis
pertama modus
ponen.
Hal ini mengingatkan bahwa
suatu implikasi selalu
ekuivalen
dengan kontraposisinya.
Modus Tollens : p⇒q, ¬q ├ ¬p
Atau dapat juga ditulis
p⇒q
¬q
――――
∴ ¬p
Contoh 1.17:
Jika
digit terakhir suatu
bilangan adalah 0,
maka bilangan tersebut
habis dibagi 10
Suatu bilangan tidak habis dibagi 10
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
∴ Digit terakhir bilangan tersebut bukan 0
C. PENAMBAHAN
DISJUNGTIF (ADDITION)
Inferensi
penambahan disjungtif didasarkan
atas fakta bahwa
suatu
kalimat
dapat digeneralisasikan dengan
penghubung ”∨”. Alasannya
adalah
karena penghubung ”∨”
bernilai benar jika
salah satu
komponennya bernilai benar.
Misalnya
saya mengatakan ”Langit
berwarna biru” (bernilai
benar).
Kalimat
tersebut tetap akan
bernilai benar jika
ditambahkan kalimat
lain dengan penghubung
”∨”. Misalnya ”Langit
berwarna biru atau
bebek
adalah binatang menyusui”.
Kalimat tersebut tetap
bernilai
benar
meskipun kalimat ”Bebek
adalah binatang menyusui”,
merupakan kalimat yang bernilai salah.
Addition : p ├(p∨q) atau q ├ (p∨q)
Atau dapat ditulis
p
atau q
―――― ――――
∴ p∨q ∴
p∨q
Contoh 1.18 :
Simon adalah siswa SMU
――――――――――――――――――――
∴ Simon adalah siswa SMU atau SMP
D. PENYEDERHAAN KONJUNGTIF (SIMPLIFICATION)
Inferensi
ini merupakan kebalikan
dari inferensi penambahan
disjungtif.
Jika beberapa kalimat
dihubungkan dengan operator
”∧”, LOGIKA
21 | i m a n s o f y a n i
maka
kalimat tersebut dapat
diambil salah satunya
secara khusus
(penyempitan kalimat).
Simplification : (p∧q) ├p atau (p∧q) ├ q
Atau dapat ditulis
p∧q atau p∧q
――― ―――
∴ p ∴ q
Contoh 1.19 :
Langit berwarna biru dan bulan berbentuk bulat
―――――――――――――――――――――――――
∴ Langit berwarna biru atau ∴ Bulan berbentuk bulat
E. SILOGISME
DISJUNGTIF
Prinsip
dasar Silogisme Disjungtif
(Disjunctive syllogism) adalah
kenyataan
bahwa apabila kita
dihadapkan pada satu
diantara dua
pilihan
yang ditawarkan (A atau
B). Sedangkan kita
tidak
memilih/tidak menyukai A, maka satu-satunua pilihan
adalah memilih
B. Begitu juga sebaliknya.
Silogisme Disjungtif : p∨q, ¬p ├q dan p∨q, ¬q ├ p
Atau dapat ditulis
p∨q atau p∨q
¬p ¬q
―――― ――――
∴ q ∴ p
Contoh 1.20:
Saya pergi ke mars atau ke bulan
Saya tidak pergi ke mars
――――――――――――――――――
∴ Saya pergi ke bulan
F. SILOGISME
HIPOTESIS (TRANSITIVITY)
Prinsip
silogisme hipotesis adalah
sifat transitif pada
implikasi. Jika
implikasi
p⇒q dan q⇒r
keduanya bernilai benar, maka
implikasi p⇒r
bernilai benar pula.
Transitivity : p⇒q , q⇒r ├ p⇒r
Atau dapat ditulis
p⇒q
q⇒r
―――――
∴ p⇒r
Contoh 1.21:
Jika hari hujan maka tanahnya menjadi berlumpur
Jika tanahnya berlumpur maka sepatu saya akan kotor
―――――――――――――――――――――――――――――
∴ Jika hari hujan maka sepatu saya akan kotor.
G. KONJUNGSI
Jika ada dua
kalimat yang masing-masing
benar, maka gabungan
kedua kalimat tersebut
dengan menggunakan penghubung
”∧” juga
bernilai benar.
Konjungsi
p
q
――
∴ p∧q
H. DILEMA
Kadang-kadang, dalam kalimat yang dihubungkan dengan
penghubung
”∨”,
masing-masing kalimat dapat
mengimplikasikan sesuatu yang
sama. Berdasarkan hal itu maka suatu kesimpulan
dapat diambil.
Dilema :
p∨q
p⇒r
q⇒r
―――
∴r
